Question

2．如圖，已知直線AB∥CD，直線EF分別與AB、CD相交于點E、F，F(xiàn)M平分∠EFD，點H是射線EA上一動點（不與點E重合），過點H的直線交EF于點P，HM平分∠BHP交FM于點M．
（1）如圖1，試說明：∠HMF=$\frac{1}{2}$（∠BHP+∠DFP）；
請在下列解答中，填寫相應(yīng)的理由：
解：過點M作MQ∥AB（過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行）．
∵AB∥CD（已知），
∴MQ∥CD（如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行）
∴∠1=∠3，∠2=∠4（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）
∴∠1+∠2=∠3+∠4（等式的性質(zhì)）
即∠HMF=∠1+∠2．
∵FM平分∠EFD，HM平分∠BHP（已知）
∵∠1=$\frac{1}{2}$∠BHP，∠2=$\frac{1}{2}$∠DFP（角平分線定義）
∴∠HMF=$\frac{1}{2}$∠BHP+$\frac{1}{2}$∠DFP=$\frac{1}{2}$（∠BHP+∠DFP）（等量代換）．
（2）如圖2，若HP⊥EF，求∠HMF的度數(shù)；
（3）如圖3，當點P與點F重合時，F(xiàn)N平分∠HFE交AB于點N，過點N作NQ⊥FM于點Q，試說明無論點H在何處都有∠EHF=2∠FNQ．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，以及角平分線定義進行判斷即可；
（2）先根據(jù)HP⊥EF，AB∥CD，得到∠EHP+∠DFP=90°，再根據(jù)（1）中結(jié)論即可得到∠HMF的度數(shù)；
（3）先根據(jù)題意得到∠NFQ=90°-∠FNQ，再根據(jù)FN平分∠HFE，F(xiàn)M平分∠EFD，即可得出∠HFD=2∠NFQ，最后根據(jù)∠EHF+∠HFD=180°，即可得出∠EHF=2∠FNQ．

解答 解：（1）由MQ∥CD，得到∠1=∠3，∠2=∠4，其依據(jù)為：兩直線平行，內(nèi)錯角相等； 
由FM平分∠EFD，HM平分∠BHP，得到∠1=$\frac{1}{2}$∠BHP，∠2=$\frac{1}{2}$∠DFP，其依據(jù)為：角平分線定義．
故答案為：兩直線平行，內(nèi)錯角相等；角平分線定義．

（2）如圖2，∵HP⊥EF，
∴∠HPE=90°，
∴∠EHP+∠HEP=180°-90°=90°（三角形的內(nèi)角和等于180°）
又∵AB∥CD，
∴∠HEP=∠DFP．
∴∠EHP+∠DFP=90°．
由（1）得：∠HMF=$\frac{1}{2}$（∠EHP+∠DFP）=$\frac{1}{2}$×90°=45°． 

（3）如圖3，∵NQ⊥FM，
∴∠NFQ+∠FNQ=180°-90°=90°（三角形的內(nèi)角和等于180°）．
∴∠NFQ=90°-∠FNQ．
∵FN平分∠HFE，F(xiàn)M平分∠EFD，
又∵∠NFQ=∠NFE+∠QFE=$\frac{1}{2}$（∠HFE+∠EFD）=$\frac{1}{2}$∠HFD，
∴∠HFD=2∠NFQ．
又∵AB∥CD，
∴∠EHF+∠HFD=180°，
∴∠EHF=180°-∠HFD=180°-2∠NFQ=180°-2（90°-∠FNQ）=2∠FNQ，
即無論點H在何處都有∠EHF=2∠FNQ．

點評 本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，角平分線的定義以及平行公理的運用，解決問題的關(guān)鍵是掌握：兩直線平行，內(nèi)錯角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．