Question

16．如圖，在矩形ABCD中，點F在邊BC上，且AF=AD，過點D作DE⊥AF，垂足為點E．以D為圓心，DE為半徑作圓弧交AD于點G，若BF=FC=1，則$\widehat{EG}$的長為$\frac{\sqrt{3}π}{6}$．

Answer 1

分析 由矩形的性質得出∠B=∠C=90°，AB=BC=AD=DC，AD∥BC，得出∠EAD=∠AFB，由AAS證明△ADE≌△FAB，再連接DF，先證明△DCF≌△ABF，得出DF=AF，再證明△ADF是等邊三角形，得出∠DAE=60°，∠ADE=30°，由AE=BF=1，根據(jù)三角函數(shù)得出DE，由弧長公式即可求出$\widehat{EG}$的長．

解答 解：連接DF，如圖所示：
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，AB=BC=AD=DC，AD∥BC，
∴∠EAD=∠AFB，
∵DE⊥AF，
∴∠AED=90°，
在△ADE和△FAB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AED=∠B}\\{∠EAD=∠AFB}\\{AD=AB}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△FAB（AAS），
在△DCF和△ABF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DC=AB}\\{∠C=∠B}\\{FC=BF}\end{array}\right.$，
∴△DCF≌△ABF（SAS），
∴DF=AF，
∵AF=AD，
∴DF=AF=AD，
∴△ADF是等邊三角形，
∴∠DAE=60°，
∵DE⊥AF，
∴∠AED=90°，
∴∠ADE=30°，
∵△ADE≌△FAB，
∴AE=BF=1，
∴DE=$\sqrt{3}$AE=$\sqrt{3}$，
∴$\widehat{EG}$的長=$\frac{30π×\sqrt{3}}{180}$=$\frac{\sqrt{3}π}{6}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}π}{6}$．

點評 本題考查了矩形的性質、全等三角形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質、三角函數(shù)以及弧長公式；熟練掌握矩形的性質，并能進行推理論證與計算是解決問題的關鍵．