Question

4．如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠CAD=∠BAD，DE⊥AB于E，點F在邊AC上，連接
DF．
（1）求證：AC=AE；
（2）若AC=8，AB=10，求DE的長；
（3）若CF=BE，直接寫出線段AB，AF，EB的數(shù)量關(guān)系：AB=AF+2EB．

Answer 1

分析 （1）先過點D作DE⊥AB于E，由于DE⊥AB，那么∠AED=90°，則有∠ACB=∠AED，聯(lián)合∠CAD=∠BAD，AD=AD，利用AAS可證．
（2）由△ACD≌△AED，證得DC=DE，然后根據(jù)S_△ACB=S_△ACD+S_△ADB即可求得DE．
（3）由AC=AE，CF=BE，根據(jù)AB=AE+EB，AC=AF+CF即可證得．

解答 解：（1）∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴∠C=∠AED=90°，
在△ACD和△AED中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAD=∠BAD}\\{∠C=∠AED}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△AED（AAS），
∴AC=AE．
（2）∵∠C=90°，AC=8，AB=10，
∴BC=6，
∴△ABC的面積等于24，
由（1）得：△ACD≌△AED，
∴DC=DE，
∵S_△ACB=S_△ACD+S_△ADB，
∴S_△ACB=$\frac{1}{2}$AC•CD+$\frac{1}{2}$AB•DE，
又∵AC=8，AB=10，
∴24=$\frac{1}{2}$×8×CD+$\frac{1}{2}$AB•DE
∴DE=$\frac{8}{3}$；
（3）∵AB=AE+EB，AC=AE，
∴AB=AC+EB，
∵AC=AF+CF，CF=BE
∴AB=AF+2EB．
故答案為：AB=AF+2EB．

點評 本題考查了直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形．