Question

15．勾股定理神秘而每秒，它的證法多樣，其巧妙各有不同，其中的”面積法“給小聰明以靈感，他驚喜的發(fā)現(xiàn)，當(dāng)兩個全等的直角三角形如圖1或圖2擺放時，都可以用“面積法”來證明，下面是小聰利用圖1證明勾股定理的過程：

將兩個全等的直角三角形按圖1所示擺放，其中∠DAB=90°，求證：a²+b²=c²
證明：連接DB，過點D作BC邊上的高DF，
則DF=EC=b-A．
∵S_{四邊形ADCB}=S_△ACD+S_△ABC=$\frac{1}{2}$b²+$\frac{1}{2}$ab．
又∵S_{四邊形ADCB}=S_△ADB+S_△DCB=$\frac{1}{2}$c²+$\frac{1}{2}$a（b-a）
∴$\frac{1}{2}$b²+$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{2}$c²+$\frac{1}{2}$a（b-a）
∴a²+b²=c²
請參照上述證法，利用圖2完成下面的證明：
將兩個全等的直角三角形按圖2所示擺放，其中∠DAB=90°．
求證：a²+b²=c²．
證明：連結(jié)BD
∵S_{多邊形ACBED}=$\frac{1}{2}ab$+$\frac{1}{2}$b²+$\frac{1}{2}$ab
又∵S_{多邊形ACBED}=$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$c²+$\frac{1}{2}$a（b-a）
∴$\frac{1}{2}ab$+$\frac{1}{2}$b²+$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$c²+$\frac{1}{2}$a（b-a）
∴a²+b²=c²．

Answer 1

分析 連接BD，多邊形ACBED的面積=△ABC的面積+△ABE的面積+△ADE的面積=$\frac{1}{2}ab$+$\frac{1}{2}$b²+$\frac{1}{2}$ab，多邊形ACBED的面積=△ABC的面積+△ABD的面積+△BDE的面積=$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$c²+$\frac{1}{2}$a（b-a），得出$\frac{1}{2}ab$+$\frac{1}{2}$b²+$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$c²+$\frac{1}{2}$a（b-a），即可得出結(jié)論．

解答 解：連接BD，如圖所示：
∵多邊形ACBED的面積=△ABC的面積+△ABE的面積+△ADE的面積=$\frac{1}{2}ab$+$\frac{1}{2}$b²+$\frac{1}{2}$ab，
又∵多邊形ACBED的面積=△ABC的面積+△ABD的面積+△BDE的面積=$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$c²+$\frac{1}{2}$a（b-a），
∴$\frac{1}{2}ab$+$\frac{1}{2}$b²+$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$c²+$\frac{1}{2}$a（b-a），
整理得：a²+b²=c²．
故答案為：BD，$\frac{1}{2}ab$+$\frac{1}{2}$b²+$\frac{1}{2}$ab，$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$c²+$\frac{1}{2}$a（b-a），$\frac{1}{2}ab$+$\frac{1}{2}$b²+$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$c²+$\frac{1}{2}$a（b-a）．

點評 本題考查了勾股定理的證明、三角形面積的計算方法、多邊形面積的計算方法；熟練掌握勾股定理的證明方法，運用面積法證明勾股定理是常用的方法．