Question

16．如圖，在△ABC中，∠A=60°，P為線段BC（不含端點）上一點，E、F分別為射線AB、AC上的點，且BP=BE，CP=CF，△ABC的外接圓在B、C兩點處的切線交于點S．設(shè)△EPF的外心為O，BO與CS交于點T，SO與直線AB交于點Y．求證：B、Y、T、S四點共圓．

Answer 1

分析 先判斷出BS=SC，結(jié)合∠A=60°，得出∠BSC=60°，進而得出△BEO≌△BPO，即：∠OBP=$\frac{1}{2}$∠EBP，同理：∠OCB=$\frac{1}{2}$∠FCP，即可得出點B，O，S，C四點共圓，再判斷出△YBO≌△CBO，得出BY=BC，進而△BYT≌△BCT，即可點B，Y，T，S四點共圓．

解答 解：如圖，連接OE，OP，OC，OF，

∵BS，CS是△ABC的外接圓的切線，
∴BS=SC，
∵∠A=60°，
∴∠BSC=60°（△SBC是等邊三角形），
∵O為△PEF的外心，
∴OE=OP，在△BEO和△BPO中，$\left\{\begin{array}{l}{BP=BE}\\{EO=PO}\\{OB=OB}\end{array}\right.$
∴△BEO≌△BPO，
∴∠EBO=∠PBO，
∴∠OBP=$\frac{1}{2}$∠EBP，
同理：∠OCB=$\frac{1}{2}$∠FCP，
∵∠BOC=180°-∠OBP-∠OCB=180°-$\frac{1}{2}$∠EBP-$\frac{1}{2}$∠FCP=60°=∠BSC，
∴B，O，S，C四點共圓，
∴∠YOB=∠SOC=∠BOC=60°，
在△YBO和△CBO中，$\left\{\begin{array}{l}{∠YBO=∠CBO}\\{BO=BO}\\{∠BOY=∠BOC}\end{array}\right.$，
∴△YBO≌△CBO，
∴BY=BC，
在△BYT和BCT中，$\left\{\begin{array}{l}{BY=BC}\\{∠YBT=∠CBT}\\{BT=BT}\end{array}\right.$，
∴△BYT≌△BCT，
∴∠BYT=∠BCT=60°=∠BSC，
∴B，Y，T，S四點共圓．

點評 此題是四點共圓，主要考查了切線的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，四點共圓的判定方法，解本題的關(guān)鍵是∠OBP=$\frac{1}{2}$∠EBP和∠OCB=$\frac{1}{2}$∠FCP，作出輔助線是解本題的難點，是一道難度不太大的很好的競賽題．