Question

6．【提出問題】如圖①，在四邊形ABCD中，點E、F是AD的n等分點中最中間2個，點G、H是BC的n等分點中最中間2個，（其中n為奇數(shù)），連接EG、FH，那么S_{四邊形EFHG}與S_{四邊形ABCD}之間有什么關(guān)系呢？
【探究發(fā)現(xiàn)】：為了解決這個問題，我們可以先從一些簡單的、特殊的情形入手：
如圖②：四邊形ABCD中，點E、F是AD的3等分點，點G、H是BC的3等分點，連接EG、FH，那么S_{四邊形EFHG}與S_{四邊形ABCD}之間有什么關(guān)系呢？
如圖③，連接EH、BE、DH，
因為△EGH與△EBH高相等，底的比是1：2，
所以S_△EGH=$\frac{1}{2}$S_△EBH
因為△EFH與△DEH高相等，底的比是1：2，
所以S_△EFH=$\frac{1}{2}$S_△DEH
所以S_△EGH+S_△EFH=$\frac{1}{2}$S_△EBH+$\frac{1}{2}$S_△DEH
即S_{四邊形EFHG}=$\frac{1}{2}$S_四邊形EBH
連接BD，
因為△DBE與△ABD高相等，底的比是2：3，
所以S_△DBE=$\frac{2}{3}$S_△ABD
因為△BDH與△BCD高相等，底的比是2：3，
所以S_△BDH=$\frac{2}{3}$S_△BCD
所以S_△DBE+S_△BDH=$\frac{2}{3}$S_△ABD+$\frac{2}{3}$S_△BCD=$\frac{2}{3}$（S_△ABD+S_△BCD）=$\frac{2}{3}$S_{四邊形ABCD}
即S_{四邊形EBHD}=$\frac{2}{3}$S_{四邊形ABCD}
所以S_{四邊形EFHG}=$\frac{1}{2}$S_{四邊形EBHD}=$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$S_{四邊形ABCD}=$\frac{1}{3}$S_{四邊形ABCD}
（1）如圖④：四邊形ABCD中，點E、F是AD的5等分點中最中間2個，點G、H是BC的5等分點中最中間2個，連接EG、FH，猜想：S_{四邊形EFHG}與S_{四邊形ABCD}之間有什么關(guān)系呢S_{四邊形EFHG}=$\frac{1}{5}$S_{四邊形ABCD}，驗證你的猜想：
【問題解決】如圖①，在四邊形ABCD中，點E、F是AD的n等分點中最中間2個，點G、H是BC的n等分點中最中間2個，連接EG、FH，（其中n為奇數(shù)）那么S_{四邊形EFHG}與S_{四邊形ABCD}之間的關(guān)系為：S_{四邊形EFHG}=$\frac{1}{n}$S_{四邊形ABCD}（不必寫出求解過程）
【問題拓展】仿照上面的探究思路，若n為奇數(shù)，請再給出一個一般性結(jié)論．（畫出圖形，不必寫出求解過程）

Answer 1

分析 （1）與探究發(fā)現(xiàn)中的解法相同，利用三角形的面積公式，求得四邊形EFGH和四邊形EBHD的面積的關(guān)系，然后確定△ABE的面積和△CDH的面積的和與△ABD和△BCD面積之間的關(guān)系，即可求解；
問題解決：解法與（1）和探究發(fā)現(xiàn)完全相同；
問題拓展：可以得到四邊形EGHF和四邊形EBHD面積之間的關(guān)系．答案不唯一．

解答 解：（1）四邊形ABCD中，點E、F是AD的5等分點中最中間2個，點G、H是BC的5等分點中最中間2個，
連接EG、FH，S_{四邊形EFHG}=$\frac{1}{5}$S_{四邊形ABCD}，理由如下：
證明：如圖④：連接EH、BE、DH，

∵△EGH與△EBH高相等，底的比是1：3，
∴S_△EGH=$\frac{1}{3}$S_△EBH，
∵△EFH與△DEH高相等，底的比是1：3，
∴S_△EFH=$\frac{1}{3}$S_△DEH，
∴S_△EGH+S_△EFH=$\frac{1}{3}$S_△EBH+$\frac{1}{3}$S_△DEH，即S_{四邊形EFHG}=$\frac{1}{3}$S_{四邊形EBHD}，
連接BD，
∵△DBE與△ABD高相等，底的比是3：5，
∴S_△DBE=$\frac{3}{5}$S_△ABD，
∵△BDH與△BCD高相等，底的比是3：5，
∴S_△BDH=$\frac{3}{5}$S_△BCD，
∴S_△DBE +S_△BDH=$\frac{3}{5}$S_△ABD+$\frac{3}{5}$S_△BCD =$\frac{3}{5}$（S_△ABD+S_△BCD）=$\frac{3}{5}$S_{四邊形ABCD}，即S_{四邊形EBHD}=$\frac{3}{5}$S_{四邊形ABCD}，
則S_{四邊形EFHG}=$\frac{1}{3}$S_{四邊形EBHD}=$\frac{1}{3}$×$\frac{3}{5}$S_{四邊形ABCD}=$\frac{1}{5}$S_{四邊形ABCD}；
問題解決：在四邊形ABCD中，點E、F是AD的n等分點中最中間2個，點G、H是BC的n等分點中最中間2個，
連接EG、FH（其中n為奇數(shù)），那么S_{四邊形EFHG}=$\frac{1}{n}$S_{四邊形ABCD}；
問題拓展：S_{四邊形EGHF}=$\frac{1}{n-1}$S_{四邊形EBHD}．
故答案為：（1）S_{四邊形EFHG}=$\frac{1}{5}$S_{四邊形ABCD}；（2）S_{四邊形EFHG}=$\frac{1}{n}$S_{四邊形ABCD}

點評 本題是四邊形與三角形的面積的綜合題，正確理解三角形面積公式，讀懂已知條件中的例子是解決本題的關(guān)鍵．