Question

16．問題情境：
如圖1，P是⊙O外的一點，直線PO分別交⊙O于點A、B，則PA是點P到⊙O上的點的最短距離．
探究：
請您結(jié)合圖2給予證明，
歸納：
圓外一點到圓上各點的最短距離是：這點到連接這點與圓心連線與圓交點之間的距離．
圖中有圓，直接運用：
如圖3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC為直徑的半圓交AB于D，P是$\widehat{CD}$上的一個動點，連接AP，則AP的最小值是$\sqrt{7}$-1．
圖中無圓，構(gòu)造運用：
如圖4，在邊長為2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD邊的中點，N是AB邊上一動點，將△AMN沿MN所在的直線翻折得到△A′MN，連接A′C，請求出A′C長度的最小值．
解：由折疊知A′M=AM，又M是AD的中點，可得MA=MA'=MD，故點A'在以AD為直徑的圓上．如圖8，以點M為圓心，MA為半徑畫⊙M，過M作MH⊥CD，垂足為H，（請繼續(xù)完成下列解題過程）
遷移拓展，深化運用：
如圖6，E，F(xiàn)是正方形ABCD的邊AD上兩個動點，滿足AE=DF．連接CF交BD于點G，連接BE交AG于點H．若正方形的邊長為2，則線段DH長度的最小值是$\sqrt{5}$-1．

Answer 1

分析 探究：在⊙O上任取一點C（不為點A、B），連接PC、OC，證得PA＜PC即可得到PA是點P到⊙O上的點的最短距離；
圖中有圓，直接運用：找到BC的中點E，連接AE，交半圓于P₂，在半圓上取P₁，連接AP₁，EP₁，可見，AP₁+EP₁＞AE，即AP₂是AP的最小值，再根據(jù)勾股定理求出AE的長，然后減掉半徑即可；
圖中無圓，構(gòu)造運用：根據(jù)題意得出A′的位置，進而利用銳角三角函數(shù)關(guān)系求出A′C的長即可；
遷移拓展，深化運用：根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△DCF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠1=∠2，利用“SAS”證明△ADG和△CDG全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠2=∠3，從而得到∠1=∠3，然后求出∠AHB=90°，取AB的中點O，連接OH、OD，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OH=$\frac{1}{2}$AB=1，利用勾股定理列式求出OD，然后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可知當(dāng)O、D、H三點共線時，DH的長度最�。�

解答 解：探究：
如圖2，在⊙O上任取一點C（不為點A、B），連接PC、OC．
∵PO＜PC+OC，PO=PA+OA，OA=OC，
∴PA＜PC，
∴PA是點P到⊙O上的點的最短距離．（3分）
圖中有圓，直接運用：
解：找到BC的中點E，連接AE，交半圓于P₂，在半圓上取P₁，連接AP₁，EP₁，
可見，AP₁+EP₁＞AE，
即AP₂是AP的最小值，
∵AE=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，P₂E=1，
∴AP₂=$\sqrt{5}$-1．
故答案為：$\sqrt{5}$-1；
圖中無圓，構(gòu)造運用：如圖所示：∵MA′是定值，A′C長度取最小值時，即A′在MC上時，
過點M作MF⊥DC于點F，
∵在邊長為2的菱形ABCD中，∠A=60°，M為AD中點，
∴2MD=AD=CD=2，∠FDM=60°，
∴∠FMD=30°，
∴FD=$\frac{1}{2}$MD=$\frac{1}{2}$，
∴FM=DM×cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴MC=$\sqrt{F{M}^{2}+C{F}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∴A′C=MC-MA′=$\sqrt{7}$-1．
故答案為：$\sqrt{7}$-1．
遷移拓展，深化運用：解：在正方形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，
在△ABE和△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{∠BAD=∠CDA}\\{AE=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠1=∠2，
在△ADG和△CDG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠ADG=∠CDG}\\{DG=DG}\end{array}\right.$，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∵∠BAH+∠3=∠BAD=90°，
∴∠1+∠BAH=90°，
∴∠AHB=180°-90°=90°，
取AB的中點O，連接OH、OD，
則OH=AO=$\frac{1}{2}$AB=1，
在Rt△AOD中，OD=$\sqrt{A{O}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，OH+DH＞OD，
∴當(dāng)O、D、H三點共線時，DH的長度最小，
最小值=OD-OH=$\sqrt{5}$-1．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系及圓的性質(zhì)，確定出DH最小時點H的位置是解題關(guān)鍵，也是本題的難點．