Question

13．點P在⊙O的外部，過點P作⊙O的切線PA，切點為A，直線PO交⊙O于點B、C（點C在點B的左側(cè)），點L在⊙O上，連接AC、CL、AL，AL交BC于點E．
（1）如圖1，求證：∠ALC=∠ACP+∠APC；
（2）如圖2，點D在⊙O上，連接AD、DL，過點A作AF⊥BC于點F，若∠DLA=∠PAF，求證：AD=2AF；
（3）如圖3，在（2）的條件下（DL＜AD），若AE=2，EL=1，∠AEF=30°，求線段DL的長．

Answer 1

分析 （1）因為AP與⊙O相切，所以∠OAB+∠PAB=90°，又因為BC是直徑，所以∠OAB+∠CAO=90°，又易證∠CAO=∠OCA=∠PAB，∠ABC=∠ALC，所以∠ALC=∠ACP+∠APC；
（2）延長AF交⊙O于點G，由垂徑定理可知AG=2AF，所以證明AD=AG即可，即只需要∠DLA=∠ACG即可；
（3）延長AF交⊙O于點G，連接GL，過點G作GM⊥AL于點M，過點D作DN⊥AL于點N，利用∠AEF=30°，可分別求得AM、AD、GM的長度，由因為tan∠DLA=tan∠GLA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以設(shè)DN=$\sqrt{3}$x，LN=2x，然后利用勾股定理求出x的值即可求得DL的長度．

解答 解：（1）連接AB、AO，如圖1，
∵AP與⊙O相切，
∴∠OAB+∠PAB=90°，
∵BC是直徑，
∴∠CAB=90°，
∴∠OAB+∠CAO=90°，
∴∠PAB=∠CAO，
∵OA=OC，
∴∠CAO=∠OCA，
∴∠PAB=∠OCA，
∵$\widehat{AC}=\widehat{AC}$，
∴∠ABC=∠ALC，
∵∠ABC=∠PAB+∠APC，
∴∠ALC=∠ACP+∠APC；

（2）延長AF交⊙O于點G，延長AO交⊙O于點H，
連接FG，CG，HG，如圖2
∵AH是直徑，
∴∠AGH=90°，
∴∠HAG+∠AHG=90°，
∵AP與⊙O相切，
∴∠HAG+∠PAG=90°，
∴∠AHG=∠PAG，
∵$\widehat{AG}=\widehat{AG}$，
∴∠AHG=∠ACG，
∴∠PAG=∠ACG，
∵∠DLA=∠PAF，
∴∠ACG=∠DLA，
∴AD=AG，
∵由垂徑定理可知：AG=2AF，
∴AD=2AF；

（3）延長AF交⊙O于點G，連接GL，
過點G作GM⊥AL于點M，過點D作DN⊥AL于點N，
∵∠AEF=30°，AE=2，
∴AF=1，
∴由垂徑定理可知：AG=2AF=2，
∵∠MAG=60°，
∴AM=$\frac{1}{2}$AG=1，MG=$\sqrt{3}$
∴ML=AL-AM=2，
∴tan∠GLA=$\frac{MG}{ML}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由（2）可知：∠DLA=∠GLA，
∴tan∠DLA=tan∠GLA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{DN}{LN}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
設(shè)DN=$\sqrt{3}$x，LN=2x，
∴AN=AL-LN=3-2x，
由（2）可知：AD=AG=2，
∴由勾股定理可知：AD²=DN²+AN²，
∴4=3x²+（3-2x）²，
∴x=$\frac{5}{7}$或x=1，
∵DL＜AD，
∴a=1舍去，
∴DN=$\frac{5}{7}\sqrt{3}$，LN=$\frac{10}{7}$，
∴由勾股定理可求得：DL=$\frac{5}{7}\sqrt{7}$．

點評 本題考查圓的綜合問題，涉及圓的切線性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，解方程等知識，內(nèi)容較為綜合，考查學生靈活運用知識的能力．