Question

6．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)O在BC上，以點(diǎn)O為圓心，OC為半徑的⊙O剛好與AB相切，交OB于點(diǎn)D．若BD=1，tan∠AOC=2，則⊙O的面積是（　�。�

• A． π
• B． 2π
• C． $\frac{9}{4}π$
• D． $\frac{16}{9}π$

Answer 1

分析 作OE⊥AB于E，如圖，設(shè)⊙O的半徑為r，根據(jù)切線的性質(zhì)得OE=r，再在△AOC中利用正切定義得到AC=2r，在Rt△OBE中利用勾股定理得到BE=$\sqrt{2r+1}$，然后證明RtBEO∽R(shí)t△BCA，則利用相似比得到$\frac{r}{2r}$=$\frac{\sqrt{2r+1}}{2r+1}$，再解方程求出r后計(jì)算⊙O的面積．

解答 解：作OE⊥AB于E，如圖，設(shè)⊙O的半徑為r，
∵AB為切線，
∴OE=r，
在△AOC中，∠ACO=90°，
∵tan∠AOC=$\frac{AC}{OC}$=2，
∴AC=2r，
在Rt△OBE中，BE=$\sqrt{O{B}^{2}-O{E}^{2}}$=$\sqrt{（r+1）^{2}-{r}^{2}}$=$\sqrt{2r+1}$，
∵∠EBO=∠CBA，
∴RtBEO∽R(shí)t△BCA，
∴$\frac{OE}{AC}$=$\frac{BE}{BC}$，即$\frac{r}{2r}$=$\frac{\sqrt{2r+1}}{2r+1}$，解得r=$\frac{3}{2}$，
∴⊙O的面積=π•（$\frac{3}{2}$）²=$\frac{9}{4}$π．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑；若出現(xiàn)圓的切線，則作垂線得到半徑．解決本題的關(guān)鍵是用半徑表示AC、BE，然后利用相似比得到關(guān)于半徑的方程．