Question

18．如圖，⊙O為△ABC的外接圓，$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$，D為⊙O上一點，∠ABC=∠ODC=67.5°．
（1）求證：OD∥BC；
（2）若CD=2，求AC的長．

Answer 1

分析 （1）連接OB、OC，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠DOC=180°-67.5°-67.5°=45°根據(jù)圓周角定理得到∠BOC=90°推出∠OCB=∠DOC由平行線的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）延長DO交⊙O于E，連接CE，得到∠DCE=90°，連接AO并延長交BC于F，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AF⊥BC，由△ACF∽△CE，得到$\frac{CD}{CE}=\frac{CF}{AF}$，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）連接OB、OC，
∵OD=OC
∴∠OCD=∠ODC=67.5°
∴∠DOC=180°-67.5°-67.5°=45°
∵$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$
∴∠ABC=∠ACB=67.5°
∴∠A=45°
∴∠BOC=90°
∵OB=OC
∴∠OBC=∠OCB=45°
∴∠OCB=∠DOC
∴OD∥BC

（2）延長DO交⊙O于E，連接CE，
則∠DCE=90°，
連接AO并延長交BC于F，
∵AB=AC，OB=OC，
∴AF⊥BC，
∴∠AFC=90°，
∵∠ABC=∠ODC=67.5°，
∴∠CAF=∠CED=22.5°，CE=AB=AC，
設(shè)AO=OC=r，則CF=OF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$r，
∴AF=（1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）r，
∵△ACF∽△CE，
∴$\frac{CD}{CE}=\frac{CF}{AF}$，即$\frac{2}{CE}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}r}{（1+\frac{\sqrt{2}}{2}）r}$，
∴CE=2$\sqrt{2}$+2，
∴AC=CE=2$\sqrt{2}$+2．

點評 本題考查了三角形的外接圓與外心，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．