Question

20．在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜180°），點A、B的對應(yīng)點分別是點D、E．
（1）如圖1，當(dāng)點D恰好落在邊AB上時，試判斷DE與AC的位置關(guān)系，并說明理由．
（2）如圖2，當(dāng)點B、D、E三點恰好在一直線上時，旋轉(zhuǎn)角α=120°°，此時直線CE與AB的位置關(guān)系是CE⊥AB．
（3）在（2）的條件下，聯(lián)結(jié)AE，設(shè)△BDC的面積S₁，△AEC的面積S₂，則S₁與S₂的數(shù)量關(guān)系是S₁=S₂．
（4）如圖3，當(dāng)點B、D、E三點不在一直線上時，（3）中的S₁與S₂的數(shù)量關(guān)系仍然成立嗎？試說明理由．

Answer 1

分析 （1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AC=CD，∠CDE=60°，故此可證明三角形ADC為等邊三角形，于是得到∠DCA=60°，故此可證明∠DCA=∠CDE=60°，最后依據(jù)平行線的判斷定理可得到DE與AC的位置關(guān)系；
（2）延長EC交AB于點F．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：CB=CE，依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求得∠CBE=∠E=30°，然后依據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得到∠BCE=120°，接下來，在△FBE中證明∠BFE=90°，可得到EF與AB的關(guān)系；
（3）延長EC交AB于點F，過點D作DG⊥BC，垂足為G．首先證明△FCA≌△GCD，由全等三角形的性質(zhì)可得到AF=GC，然后依據(jù)三角形的面積公式可證明S₁=S₂；
（4）過D作DH⊥BC于H，過A作AG⊥EC交EC的延長線于G．先證明△AGC≌△DHC，由全等三角形的性質(zhì)可得到AG=DH，然后依據(jù)三角形的面積公式可證明S₁=S₂．

解答 解：（1）DE∥AC．
理由：∵△ABC旋轉(zhuǎn)后與△DCE全等，
∴∠A=∠CDE，AC=DC．
∵∠BAC=60°，AC=DC，
∴△DAC是等邊三角形．
∴∠DCA=60°．
又∵∠CDE=∠BAC=60°，
∴∠DCA=∠CDE=60°
∴DE∥AC．
（2）如圖1所示：延長EC交AB于點F．

∵由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：CB=CE，
∴∠CBE=∠E=30°．
∴∠BCE=120°，即旋轉(zhuǎn)角α=120°．
∵∠ABC=30°，∠CBE=30°，
∴∠FBE=60°．
∴∠E+∠FBE=30°+60°=90°．
∴∠BFE=90°．
∴EC⊥AB．
故答案為：120°；EC⊥AB．
（3）如圖2所示：延長EC交AB于點F，過點D作DG⊥BC，垂足為G．

∵由（2）可知CE⊥AB，∠BCE=120°
∴∠CFA=90°，∠BCD=30°．
∵∠FAC=60°，
∴∠FCA=30°．
∴∠FCA=∠DCG=30°．
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：AC=CD．
在△FCA和△GCD中$\left\{\begin{array}{l}{∠FCA=∠DCG}\\{∠CFA=∠DGC=90°}\\{AC=CD}\end{array}\right.$，
∴△FCA≌△GCD．
∴AF=GD．
又∵BC=CE，
∴$\frac{1}{2}$EC•AF=$\frac{1}{2}$CB•DG，即S₁=S₂．
故答案為：S₁=S₂．
（4）S₁=S₂仍然成立．
理由：如圖3所示：過D作DH⊥BC于H，過A作AG⊥EC交EC的延長線于G．

∵DH⊥BC，AG⊥EC，
∴∠AGC=∠DHC=90°
∵△ABC旋轉(zhuǎn)后與△DCE全等
∴∠ACB=∠DCE=90°，AC=DC，BC=CE．
∵∠ACE+∠BCD=180°，∠GCA+∠ECA=180°，
∴∠ACG=∠DCH．
∵在△AGC和△DHC中$\left\{\begin{array}{l}{∠AGC=∠DHC}\\{∠ACG=DCH}\\{AC=DC}\end{array}\right.$，
∴△AGC≌△DHC．
∴AG=DH．
∴$\frac{1}{2}$EC•AF=$\frac{1}{2}$CB•DG，即S₁=S₂．

點評 本題主要考查的是幾何變換的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)與判斷、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判斷證得△BDC與△AEC是一對等底等高的三角形是解題的關(guān)鍵．