Question

如圖，拋物線y=－x2+x－2交x軸于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C，分別過(guò)點(diǎn)B，C作y軸，x軸的平行線，兩平行線交于點(diǎn)D，將△BDC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到y(tǒng)軸上得到△FEC，連接BF．

（1）求點(diǎn)B，C所在直線的函數(shù)解析式；

（2）求△BCF的面積；

（3）在線段BC上是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P，A，B為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

 

Answer 1

（1）直線BC的解析式為y=x﹣3；

（2）△BCF的面積為10；

（3）在線段BC上存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P，A，B為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似， P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣1）或（，﹣）．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得點(diǎn)B，C的坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法可得點(diǎn)B，C所在直線的函數(shù)解析式；

（2）根據(jù)勾股定理可得BC的長(zhǎng)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和三角形面積公式即可求解；

（3）存在．分兩種情況討論：①過(guò)A作AP1⊥x軸交線段BC于點(diǎn)P1，則△BAP1∽△BOC；②過(guò)A作AP2⊥BC，垂足點(diǎn)P2，過(guò)點(diǎn)P2作P2Q⊥x軸于點(diǎn)Q．則△BAP2∽△BCO；依此討論即可求解．

試題解析：（1）當(dāng)y=0時(shí)，﹣x2+x﹣2=0，

解得x1=2，x2=4，

∴點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（2，0），（4，0），

當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣2，

∴C點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（0，﹣2），

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），則，

解得．

∴直線BC的解析式為y=x﹣3；

（2）∵CD∥x軸，BD∥y軸，

∴∠ECD=90°，

∵點(diǎn)B，C的坐標(biāo)分別為（4，0），（0，﹣2），

∴BC==2，

∵△FEC是由△BDC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，

∴△BCF的面積=BC•FC=×2×2=10；

（3）存在．分兩種情況討論：

①過(guò)A作AP1⊥x軸交線段BC于點(diǎn)P1，則△BAP1∽△BOC，

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），

∴點(diǎn)P1的橫坐標(biāo)是2，

∵點(diǎn)P1在點(diǎn)BC所在直線上，

∴y=x﹣2=×2﹣2=﹣1，

∴點(diǎn)P1的坐標(biāo)為（2，﹣1）；

②過(guò)A作AP2⊥BC，垂足點(diǎn)P2，過(guò)點(diǎn)P2作P2Q⊥x軸于點(diǎn)Q．

∴△BAP2∽△BCO，

∴,

∴，

解得AP2=，

∵，

∴AP2•BP=CO•BP2，

∴×4=2BP2，

解得BP2=，

∵AB•QP2=AP2•BP2，

∴2QP2=×，

解得QP2=，

∴點(diǎn)P2的縱坐標(biāo)是﹣，

∵點(diǎn)P2在BC所在直線上，

∴x=，

∴點(diǎn)P2的坐標(biāo)為（，﹣），

∴滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣1）或（，﹣）．

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．