Question

如圖，拋物線的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，點D為拋物線的頂點.

（1）求A、B、C的坐標(biāo)；

（2）點M為線段AB上一點（點M不與點A、B重合），過點M作x軸的垂線，與直線AC交于點E，與拋物線交于點P，過點P作PQ∥AB交拋物線于點Q，過點Q作QN⊥x軸于點N.若點P在點Q左邊，當(dāng)矩形PQMN的周長最大時，求△AEM的面積；

（3）在（2）的條件下，當(dāng)矩形PMNQ的周長最大時，連接DQ.過拋物線上一點F作y軸的平行線，與直線AC交于點G（點G在點F的上方）.若FG=DQ，求點F的坐標(biāo).

 

 

Answer 1

（1）A（-3，0），B（1，0），C（0，3）； （2）；（3）或（1，0）.

【解析】

試題分析：（1）依據(jù)拋物線的解析式直接求得C的坐標(biāo)，令y=0解方程即可求得A、B點的坐標(biāo).

（2）求出矩形PQMN的周長關(guān)于點M橫坐標(biāo)的解析式，應(yīng)用二次函數(shù)最值原理求出矩形PQMN的周長時點M橫坐標(biāo)的值，求出此時△AEM的面積.

（3）根據(jù)FG=DQ列關(guān)于點F橫坐標(biāo)的方程求解即可．

試題解析：（1）由拋物線的解析式令得，∴C（0，3）.

令y=0，-x2+2x+3=0，解得x=-3或x=1.∴A（-3，0），B（1，0）．

（2）∵，∴對稱軸為x=-1.

設(shè)，其中.

∵點P、Q關(guān)于直線x=-1對稱，設(shè)點Q的橫坐標(biāo)為a，

則，∴.∴ .

∴

∴矩形PQMN的周長.

∴當(dāng)x=-2時，矩形PQMN的周長d最大.

此時 .

設(shè)直線AC的解析式為，則，解得.

∴直線AC的解析式為.

將x=-2代入，得y=1，∴.

∴.

（3）由（2）知，當(dāng)矩形PQMN的周長最大時，x=-2，

此時，，與點C重合，∴OQ=3.

由得.

如圖，過點D作DK⊥y軸于點K，則DK=1，OK=4，∴QK=OK-OQ=4-3=1.

∴△DKQ是等腰直角三角形，.

∴.

設(shè)，則，

∴，解得.

當(dāng)時，；當(dāng)時，.

∴點F的坐標(biāo)為或（1，0）.

考點：1.二次函數(shù)綜合題；2.單動點問題；3.曲線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系；4.三角形面積的確定；5.二次函數(shù)最值的應(yīng)用；6.數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．