Question

已知拋物線C₁：y=x²+bx+c的頂點(diǎn)為P，與y軸交于點(diǎn)A，與直線OP交于點(diǎn)B．
（1）如圖1，若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，6），求拋物線C₁的解析式；
（2）將（1）中的拋物線C₁沿y軸向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，然后再向右平移m（m＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線C₂，拋物線C₂與x軸交于點(diǎn)C、D（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)），連PD（點(diǎn)P是拋物線C₁的頂點(diǎn)）并過點(diǎn)C作CN∥PD交y軸交于點(diǎn)N，若tan∠CNP=2，求拋物線C₂的解析式；
（3）如圖2，若點(diǎn)P在第一象限，且PA=PO，過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，將拋物線y=x²+bx+c平移，平移后所得拋物線C₃經(jīng)過點(diǎn)A、E，設(shè)拋物線C₃與x軸的另一交點(diǎn)為F，請(qǐng)?zhí)骄克倪呅蜲ABF的形狀，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）首先求出b的值，然后把b=-2及點(diǎn)B（3，6）的坐標(biāo)代入拋物線解析式y(tǒng)=x²+bx+c求出c的值，拋物線的解析式即可求出；
（2）先根據(jù)平移的性質(zhì)得到拋物線C₂的解析式為y=（x-m）²+2-3=（x-m）²-1，再根據(jù)tan∠CNP=2，由三角函數(shù)即可求解；
（3）由PA=PO，OA=c，可得PD=

c

2

，又知拋物線y=x²+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 P（-

b

2

，

4c-b2

4

），即可求出b和c的關(guān)系，進(jìn)而得到A（0，

1

2

b²），P（-

1

2

b，

1

4

b²），D（-

1

2

b，0），根據(jù)B點(diǎn)是直線與拋物線的交點(diǎn)，求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，由平移后的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A，可設(shè)平移后的拋物線解析式為y=x²+mx+

1

2

b²，再求出b與m之間的關(guān)系，再求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)兩對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，結(jié)合∠AOC=90°即可證明四邊形OABC是矩形．

解答：解：（1）依題意，-

b

2×1

=1，
解得b=-2．
將b=-2及點(diǎn)B（3，6）的坐標(biāo)代入拋物線解析式y(tǒng)=x²+bx+c得6=3²-2×3+c．
解得 c=3．
所以拋物線的解析式為y=x²-2x+3．

（2）∵將（1）中的拋物線C₁沿y軸向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，然后再向右平移m（m＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線C₂，
∴y=（x-m）²+2-3=（x-m）²-1，
∵tan∠CNP=2，
∴y=x²-（2+2

5

）x+5+2

5

．

（3）如圖2，由 PA=PO，OA=c，可得PD=

c

2

．
∵拋物線y=x²+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 P（-

b

2

，

4c-b2

4

），
∴

4c-b2

4

=

c

2

∴b²=2c．
∴拋物線y=x²+bx+

1

2

b²，A（0，

1

2

b²），P（-

1

2

b，

1

4

b²），D（-

1

2

b，0）．
可得直線OP的解析式為y=-

1

2

bx．
∵點(diǎn)B是拋物線y=x²+bx+

1

2

b²與直線y=-

1

2

bx的圖象的交點(diǎn)，
令-

1

2

bx=x²+bx+

1

2

b²．
解得x₁=-b，x₂=-

b

2

．
可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-b，

1

2

b²）．
由平移后的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A，可設(shè)平移后的拋物線解析式為y=x2+mx+

1

2

b²．
將點(diǎn)D（-

1

2

b，0）的坐標(biāo)代入y=x²+mx+

1

2

b²，得m=

3

2

b．
則平移后的拋物線解析式為y=x²+

3

2

bx+

1

2

b²．
令y=0，即x²+

3

2

bx+

1

2

b²=0．
解得x₁=-b，x₂=-

1

2

b．
依題意，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-b，0）．
則BC=

1

2

b²．
則BC=OA．
又∵BC∥OA，
∴四邊形OABC是平行四邊形．
∵∠AOC=90°，
∴四邊形OABC是矩形．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的綜合題的知識(shí)，此題涉及拋物線解析式的求法，拋物線頂點(diǎn)與對(duì)稱軸的求法以及矩形的判定，特別是第三問設(shè)計(jì)到平移的知識(shí)，同學(xué)們作答時(shí)需認(rèn)真，此題難度較大．