Question

6．如圖，點E是邊長為5$\sqrt{2}$的正方形ABCD外一點，∠BED=90°，DE=8，連接AE，則AE的長為7$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 解法一：作輔助線，構(gòu)建直角三角形，先根據(jù)勾股定理求對角線BD的長為10，再求BE為6；設(shè)EF=a，由相似表示FC的長，在Rt△FDC中，由勾股定理列方程求出a的值，再利用勾股定理求AN和EN的值，最后求出AE的長．
解法二：作輔助線，構(gòu)建三角形全等，證明△ABE≌△ADN，可得△EAN是等腰直角三角形，可以得出AE的長．
第二種解法計算量小．

解答 解：解法一：過E作EN⊥AD，垂足為N，交BC于M，連接BD，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，∠BCD=90°，
∴EN⊥BC，
在Rt△BDC中，由勾股定理得：BD=$\sqrt{（5\sqrt{2}）^{2}+（5\sqrt{2}）^{2}}$=10，
在Rt△BED中，BE=$\sqrt{B{D}^{2}-D{E}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
設(shè)EF=a，則DF=8-a，
∵∠BED=∠C=90°，∠BFE=∠DFC，
∴△BFE∽△DFC，
∴$\frac{BE}{EF}=\frac{DC}{FC}$，
∴$\frac{6}{a}=\frac{5\sqrt{2}}{FC}$，
∴FC=$\frac{5\sqrt{2}a}{6}$，
∵DF²=FC²+DC²，
∴（8-a）²=（$\frac{5\sqrt{2}}{6}a$）²+（5$\sqrt{2}$）²，
解得：a₁=-42（舍），a₂=$\frac{6}{7}$，
∴EF=$\frac{6}{7}$，F(xiàn)C=$\frac{5\sqrt{2}}{7}$，BF=5$\sqrt{2}$-$\frac{5\sqrt{2}}{7}$=$\frac{30\sqrt{2}}{7}$，
cos∠EBC=$\frac{BM}{BE}=\frac{BE}{BF}$，
∴$\frac{BM}{6}=\frac{6}{\frac{30\sqrt{2}}{7}}$，
∴BM=$\frac{21\sqrt{2}}{5}$，
則AN=BM=$\frac{21\sqrt{2}}{5}$，
∴EM=$\sqrt{{6}^{2}-（\frac{21\sqrt{2}}{5}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{5}$，
∴EN=$\frac{3\sqrt{2}}{5}$+5$\sqrt{2}$=$\frac{28\sqrt{2}}{5}$，
∴AE=$\sqrt{E{N}^{2}+A{N}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{28\sqrt{2}}{5}）^{2}+（\frac{21\sqrt{2}}{5}）^{2}}$=7$\sqrt{2}$，
故答案為：7$\sqrt{2}$．
解法二：如圖所示，連接BD，

同解法一計算得：BE=6，
延長ED至N，使DN=BE=6，連接AN，
∴EN=8+6=14，
∵∠BAD=∠BED=90°，
∴A、B、E、D四點共圓，
∴∠ADN=∠ABE，
∵AB=AD，
∴△ABE≌△ADN，
∴AN=AE，∠DAN=∠BAE，
∴∠BAE+∠EAD=∠DAN+∠EAD，
即∠EAN=90°，
∴△EAN是等腰直角三角形，
∴AE=$\frac{EN}{\sqrt{2}}$=$\frac{14}{\sqrt{2}}$=7$\sqrt{2}$．
故答案為：7$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)，還考查了勾股定理、相似三角形的性質(zhì)和判定；熟練掌握正方形的各邊相等，各角都是直角，且對邊平行；利用勾股定理求邊的長，并與相似結(jié)合，第一種解法計算量大，要細心．第二種解法計算量�。�