Question

2．在△ABC中和△DBE中，∠ACB=∠DBC=90°，E是BC的中點(diǎn)，EF⊥AB于F，且AB=DE．
（1）觀察并猜想，BD、CE與AC有何數(shù)量關(guān)系？并證明你猜想的結(jié)論．
（2）若BD=8cm，試求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）利用同角的余角相等求出∠A=∠FEB，再利用“角角邊”證明△ACB和△EBD全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BD=BC，AC=BE，然后根據(jù)BC=CE+BE等量代換證明即可；
（2）根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等求出BC，根據(jù)線段中點(diǎn)的定義求出BE，從而得到AC，然后利用三角形的面積公式列式計(jì)算即可得解．

解答 （1）BD=CE+AC
證明：∵EF⊥AB，
∴∠EFB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠ABC=90°，∠FEB+∠ABC=90°，
∴∠A=∠FEB，
在△ACB和△EBD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠FEB}\\{∠C=∠DBE=90°}\\{AB=DE}\end{array}\right.$，
∴△ACB≌△EBD（AAS），
∴BD=BC，AC=BE，
∴BD=CE+AC；

（2）解：∵由（1）知：△ACB≌△EBD，
∴BC=BD=8cm，BE=AC，
∵E為BC中點(diǎn)，
∴BE=$\frac{1}{2}$BC=4cm，
即AC=4cm，
S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AC=$\frac{1}{2}$×8×4=16cm²．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，熟練掌握三角形全等的判斷方法是解題的關(guān)鍵．