Question

10．已知，在△ABC中，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E是BC延長線上一點(diǎn)，且AD=CE，連接DE交AC于點(diǎn)F．
（1）猜想證明：如圖1，在△ABC中，若AB=BC，學(xué)生們發(fā)現(xiàn)：DF=EF．下面是兩位學(xué)生的證明思路：
思路1：過點(diǎn)D作DG∥BC，交AC于點(diǎn)G，可證△DFG≌△EFC得出結(jié)論；
思路2：過點(diǎn)E作EH∥AB，交AC的延長線于點(diǎn)H，可證△ADF≌△HEF得出結(jié)論；
…

請你參考上面的思路，證明DF=EF（只用一種方法證明即可）．
（2）類比探究：在（1）的條件下（如圖1），過點(diǎn)D作DM⊥AC于點(diǎn)M，試探究線段AM，MF，F(xiàn)C之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
（3）延伸拓展：如圖2，在△ABC中，若AB=AC，∠ABC=2∠BAC，$\frac{AB}{BC}$=m，請你用尺規(guī)作圖在圖2中作出AD的垂直平分線交AC于點(diǎn)N（不寫作法，只保留作圖痕跡），并用含m的代數(shù)式直接表示$\frac{NF}{AC}$的值．

Answer 1

分析 （1）思路1：過點(diǎn)D作DG∥BC，交AC于點(diǎn)G，可證△DFG≌△EFC得出結(jié)論；思路2：過點(diǎn)E作EH∥AB，交AC的延長線于點(diǎn)H，可證△ADF≌△HEF得出結(jié)論；
（2）結(jié)論：FM=AM+FC．如圖2中只要證明FG=FC，AM=FM即可解決問題；
（3）連接DN．作DG∥CE交AC于G．設(shè)DG=a，BC=b，則AB=BC=mb，AD=AG=ma，由△GDN∽△GAD，推出DG²=GN•GA，易知DG=DN=AN=a，可得a²=（ma-a）•ma，即m²a-ma-a=0，由DG∥CE，推出DG：EC=FG：FC=DG：DA=1：m，由CG=mb-ma，推出FG=$\frac{1}{m+1}$m（b-a），推出FN=GN+FG=ma-a+$\frac{1}{m+1}$m（b-a）=$\frac{mb}{m+1}$，由此即可解決問題；

解答 解：（1）思路1：如圖1-1中，過點(diǎn)D作DG∥BC，交AC于點(diǎn)G．

∵BA=BC，
∴∠A=∠BCA，
∵DG∥BC，
∴∠DGA=∠BCA，∠DGF=∠ECF，
∴∠A=∠DGA，
∴DA=DG，
∵AD=CE，
∴DG=CE，
∵∠DFG=∠CFE，
∴△DFG≌△EFC，
∴DF=EF．
思路2：如圖1-2中，過點(diǎn)E作EH∥AB，交AC的延長線于點(diǎn)H．

∵BA=BC，
∴∠A=∠BCA，
∵EH∥AB，
∴∠A=∠H，∠ECH=∠BCA，
∴∠H=∠ECH，
∴EC=EH，
∵AD=CE，
∴AD=EH，
∵∠AFD=∠EFH，
∴△DFA≌△EFH，
∴DF=EF．

（2）結(jié)論：FM=AM+FC．
理由：如圖2中，

由思路1可知：DA=DG，△DFG≌△EFC，
∵DM⊥AG，
∴AM=FG，F(xiàn)G=FC，
∵FM=FG+GM，
∴FM=AM+FC．

（3）AD的垂直平分線交AC于點(diǎn)N，如圖3中所示．

連接DN．作DG∥CE交AC于G．設(shè)DG=a，BC=b，則AB=BC=mb，AD=AG=ma，
∵∠ABC=2∠BAC，設(shè)∠BAC=x，則∠B=∠ACB=2x，
∴5x=180°，
∴x=36°，
∴∠A=30°，
∵NA=ND，
∴∠A=∠ADN=36°，
∵∠ADG=∠B=72°，
∴∠NDG=∠A=36°，∵∠DGN=∠AGD，
∴△GDN∽△GAD，
∴DG²=GN•GA，
易知DG=DN=AN=a，
∴a²=（ma-a）•ma，
∴m²a-ma-a=0，
∵DG∥CE，
∴DG：EC=FG：FC=DG：DA=1：m，
∵CG=mb-ma，
∴FG=$\frac{1}{m+1}$m（b-a），
∴FN=GN+FG=ma-a+$\frac{1}{m+1}$m（b-a）=$\frac{{m}^{2}a-a+mb-ma}{m+1}$=$\frac{mb}{m+1}$，
∴$\frac{FN}{AC}$=$\frac{\frac{mb}{m+1}}{mb}$=$\frac{1}{m+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查相似形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問題，屬于中考?jí)狠S題．