Question

14．如圖，四邊形ABCD為矩形，點E在AD邊上，DE=4AE，EF∥AC，交CD邊于點F，連接BE，若∠DEF=2∠ABE，BE=2$\sqrt{3}$，則線段EF的長為$\frac{24}{5}$．

Answer 1

分析 作BG⊥EF、延長EF交BC延長線于點H，設AE=x，則DE=4x、AD=BC=5x，證?AEHC得AE=CH=x、證△DEF∽△CHF得$\frac{DF}{CF}$=$\frac{DE}{CH}$=$\frac{4x}{x}$=4，即DF=4CF，即可設CF=a，則DF=4a，再證△BGC∽△FCH后，設∠ABE=α，可得∠DEF=∠H=2α，由∠EBG=90°-∠ABE-∠HBG=90°-α-（90°-2α）=α=∠ABE結合∠BAE=∠BGE=90°、BE=BE，可證△ABE≌△GBE得AB=BG=5a，由$\frac{BG}{BH}=\frac{FC}{FH}$得FH=$\frac{6x}{5}$，根據(jù)勾股定理得FC=$\sqrt{F{H}^{2}-H{C}^{2}}$=$\frac{\sqrt{11}}{5}x$，即a=$\frac{\sqrt{11}}{5}x$，可知AB=5a=$\sqrt{11}$x，在Rt△ABE中由AB²+AE²=BE²得x=1，從而可得DF、DE的長，最后利用勾股定理可得答案．

解答 解：如圖，過點B作BG⊥EF于點G，延長EF交BC延長線于點H，

設AE=x，則DE=4x，AD=BC=5x，
∵AB∥CD，EF∥AC，
∴四邊形AEHC是平行四邊形，
∴AE=CH=x，
∵DE∥CH，
∴△DEF∽△CHF，
∴$\frac{DF}{CF}$=$\frac{DE}{CH}$=$\frac{4x}{x}$=4，即DF=4CF，
設CF=a，則DF=4a，
又∵∠BGH=∠FCH=90°，∠BHG=∠FHC，
∴△BGC∽△FCH，
設∠ABE=α，則∠DEF=∠H=2α，
∴∠HBG=90°-∠H=90°-2α，
∴∠EBG=90°-∠ABE-∠HBG=90°-α-（90°-2α）=α=∠ABE，
∵∠BAE=∠BGE=90°，BE=BE，
∴△ABE≌△GBE，
∴AB=BG=5a，
∵$\frac{BG}{BH}=\frac{FC}{FH}$，即$\frac{5a}{6x}=\frac{a}{FH}$，
∴FH=$\frac{6x}{5}$，
則FC=$\sqrt{F{H}^{2}-H{C}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{6x}{5}）^{2}-{x}^{2}}$=$\frac{\sqrt{11}}{5}x$，即a=$\frac{\sqrt{11}}{5}x$
∴AB=5a=$\sqrt{11}$x，
在Rt△ABE中，由AB²+AE²=BE²得11x²+x²=（2$\sqrt{3}$）²，
解得：x=1或x=-1（舍），
則DF=4a=$\frac{4\sqrt{11}}{5}$x=$\frac{4\sqrt{11}}{5}$，DE=4，
∴EF=$\sqrt{D{E}^{2}+D{F}^{2}}$=$\frac{24}{5}$，
故答案為：$\frac{24}{5}$．

點評 本題主要考查相似三角形的判定與性質、矩形的性質、平行四邊形的判定與性質、全等三角形的判定與性質及勾股定理等知識點，根據(jù)題中線段的比值及角度的關系轉化為相似問題和全等問題求解是解題的切入點．