Question

18．如圖，已知正方形ABCD的邊長為1，過頂點(diǎn)C的直線與射線AB、AD分別交于點(diǎn)P，Q．求$\frac{1}{AP}+\frac{1}{AQ}+\frac{1}{PQ}$的最大值．

Answer 1

分析 根據(jù)已知條件推出△QDC∽△QAP，△PBC∽△PAQ，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{AD}{AQ}=\frac{CD}{PQ}$，$\frac{AB}{AP}=\frac{CQ}{PQ}$，于是得到$\frac{1}{AP}+\frac{1}{AQ}+\frac{1}{PQ}$=1+$\frac{1}{PQ}$，推出要使$\frac{1}{AP}+\frac{1}{AQ}+\frac{1}{PQ}$最大，則PQ最小即可，于是得到當(dāng)AP=AQ時(shí)，PQ最小，根據(jù)勾股定理得到PQ=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，即可得到結(jié)論．

解答 解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴△QDC∽△QAP，△PBC∽△PAQ，
∴$\frac{AD}{AQ}=\frac{CD}{PQ}$，$\frac{AB}{AP}=\frac{CQ}{PQ}$，
即$\frac{1}{AQ}=\frac{CP}{PQ}$，$\frac{1}{AP}=\frac{CQ}{PQ}$，
∴$\frac{1}{AP}+\frac{1}{AQ}+\frac{1}{PQ}$=1+$\frac{1}{PQ}$，
∴要使$\frac{1}{AP}+\frac{1}{AQ}+\frac{1}{PQ}$最大，則PQ最小即可，
∴當(dāng)AP=AQ時(shí)，PQ最小，
此時(shí)∠P=45°=∠BCP，
∴BC=BP=1，同理DQ=1，
∴PQ=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴$\frac{1}{AP}+\frac{1}{AQ}+\frac{1}{PQ}$的最大值=1+$\frac{1}{2\sqrt{2}}$=1+$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，知道當(dāng)AP=AQ時(shí)，$\frac{1}{AP}+\frac{1}{AQ}+\frac{1}{PQ}$的值最大是解題的關(guān)鍵．