Question

9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²-4ax+1（a＞0）與y軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（$\frac{2}{a}$，1），過點(diǎn)D作DC∥y軸，交拋物線于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作CB∥x軸，交y軸于點(diǎn)B，連結(jié)AD．
（1）當(dāng)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，2）時(shí)，求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．
（2）當(dāng)矩形ABCD的邊AD被拋物線分成1：3兩部分時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．
（3）當(dāng)矩形ABCD是正方形時(shí)，求a的值．
（4）在拋物線的對(duì)稱軸上有一點(diǎn)P，當(dāng)△ABP為等腰直角三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由題意易得點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（$\frac{2}{a}$，2），然后代入拋物線y=ax²-4ax+1，即可求得答案；
（2）首先設(shè)拋物線交AD于點(diǎn)E，則點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為1，可求得點(diǎn)E的坐標(biāo)，然后分別從AE=3DE或3AE=DE去分析求解即可求得答案；
（3）若矩形ABCD是正方形，則AD=CD，可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后分別從點(diǎn)C在點(diǎn)D上方與點(diǎn)C在點(diǎn)D下方，去分析求解即可求得答案；
（4）分別從∠BAP=90°，∠ABP=90°或∠APB=90°，去分析求解即可求得答案．

解答 解：（1）∵CB∥x軸，DC∥y軸，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（$\frac{2}{a}$，1），
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（$\frac{2}{a}$，2），
∵拋物線y=ax²-4ax+1（a＞0）過點(diǎn)C，
∴$\frac{4}{a}$-8+1=2，
解得：a=$\frac{4}{9}$，
∴拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為：y=$\frac{4}{9}$x²-$\frac{16}{9}$x+1；

（2）設(shè)拋物線交AD于點(diǎn)E，則點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為1，
由ax²-4ax+1=1，
解得：x₁=0，x₂=4，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，1），
∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為（$\frac{2}{a}$，1），
則DE=$\frac{2}{a}$-4，
當(dāng)AE=3DE時(shí)，4=3（$\frac{2}{a}$-4），
解得：a=$\frac{3}{8}$，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（$\frac{16}{3}$，$\frac{11}{3}$）；
當(dāng)3AE=DE時(shí)，12=$\frac{2}{a}$-4，
解得：a=$\frac{1}{8}$，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（16，25）；

（3）若矩形ABCD是正方形，則AD=CD，
∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（$\frac{2}{a}$，1），且DC∥y軸，
∴C（$\frac{2}{a}$，$\frac{4}{a}$-7），
若點(diǎn)C在點(diǎn)D上方，則CD=$\frac{4}{a}$-8，
∴$\frac{2}{a}$=$\frac{4}{a}$-8，
解得：a=$\frac{1}{4}$；
若點(diǎn)C在點(diǎn)D下方，則CD=8-$\frac{4}{a}$，
∴$\frac{2}{a}$=8-$\frac{4}{a}$，
解得：a=$\frac{3}{4}$；
綜上可得：a=$\frac{1}{4}$或$\frac{3}{4}$；

（4）拋物線的對(duì)稱軸方程為：x=-$\frac{2a}$=-$\frac{-4a}{2a}$=2，
∵△ABP為等腰直角三角形，
∴若∠BAP=90°，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（2，1）；
若∠ABP=90°，則AB=BP=2，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（2，3）或（2，-1）；
若∠APB=90°，AB=2×2=4，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（2，3）；
綜上所述：點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（2，1）或（2，3）或（2，-1）．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于二次函數(shù)的綜合題．考查了待定系數(shù)求二次函數(shù)解析式、矩形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及等腰直角三角形性質(zhì)．注意掌握分類討論思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．