Question

8．已知：在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，點M為邊BC的中點，點P為邊CD上的動點（點P異于C、D 兩點）．連接PM．過點P作PM的垂線與射線DA相交于點E（如圖），設CP=x，DE=y
（1）求y與x之間的函數關系．
（2）若點E與點A重合，求x的值．
（3）是否存在點P．使得點D關于直線PE的對稱點G落在邊AB上？若存在，求x的值；若不存在．請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性質和角的互余關系得出∠C=∠D=90°，∠CPM=∠DEP，證明△CPM∽△DEP，得出對應邊成比例，即可得出y關于x的函數關系式；
（2）當E與A重合時，DE=DA=2，將y=2代入第一問得出的y與x的關系式中，即可求出x的值；
（3）過P作PH垂直于AB，由對稱的性質得到：PD′=PD=4-x，ED′=ED=y=-x²+4x，EA=AD-ED=x²-4x+2，∠PD′E=∠D=90°，在Rt△D′PH中，PH=2，D′P=DP=4-x，根據勾股定理表示出D′H，再由△ED′A∽△D′PH，由相似得比例，將各自表示出的式子代入，可列出關于x的方程，求出方程的解即可得到滿足題意的x的值．

解答 解：（1）∵PE⊥PM，∴∠EPM=90°，
∴∠DPE+∠CPM=90°，
又∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，
∴∠DPE+∠DEP=90°，
∴∠CPM=∠DEP，
又∵∠C=∠D=90°，
∴△CPM∽△DEP，
∴$\frac{CP}{DE}$=$\frac{CM}{DP}$，
又∵CP=x，DE=y，AB=DC=4，
∴DP=4-x，
又∵M為BC中點，BC=2，
∴CM=1，
∴$\frac{x}{y}$=$\frac{1}{4-x}$，
∴y=-x²+4x；
（2）當E與A重合時，DE=AD=2，
∵△CPM∽△DEP，
∴$\frac{CP}{DE}$=$\frac{CM}{DP}$，
又∵CP=x，DE=2，CM=1，DP=4-x，
∴$\frac{x}{2}$=$\frac{1}{4-x}$，即x²-4x+2=0，
解得：x=2+$\sqrt{2}$或x=2-$\sqrt{2}$；
（3）存在，過P作PH⊥AB于點H，如圖所示：
∵點D關于直線PE的對稱點D′落在邊AB上，
∴PD′=PD=4-x，ED′=ED=y=-x²+4x，EA=AD-ED=x²-4x+2，∠PD′E=∠D=90°，
在Rt△D′PH中，PH=2，D′P=DP=4-x，
根據勾股定理得：D′H=$\sqrt{（4-x）^{2}-{2}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}-8x+12}$，
∵∠ED′A=180°-90°-∠PD′H=90°-∠PD′H=∠D′PH，∠PD′E=∠PHD′=90°，
∴△ED′A∽△D′PH，
∴$\frac{ED′}{D′P}$=$\frac{EA}{D′H}$，
即$\frac{-{x}^{2}+4x}{4-x}$=$\frac{x（4-x）}{4-x}$=x=$\frac{{x}^{2}-4x+2}{\sqrt{{x}^{2}-8x+12}}$，
整理得：2x²-4x+1=0，
解得：x=$\frac{2±\sqrt{2}}{2}$，
當x=$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$時，y=-（$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$）²+4×$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$=$\frac{5+2\sqrt{2}}{2}$＞2，
此時，點E在邊DA的延長線上，D關于直線PE的對稱點不可能落在邊AB上，不合題意舍去；
當x=$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$時，y=-（$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$）²+4×$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$=$\frac{5-2\sqrt{2}}{2}$＜2，
此時，點E在邊AD上，符合題意；
∴當x=$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$時，點D關于直線PE的對稱點D′落在邊AB上．

點評 此題屬于相似形綜合題，涉及的知識有：相似三角形的判定與性質，對稱的性質，矩形的性質，以及一元二次方程的應用，利用了數形結合的數學思想；本題綜合性強，難度較大，靈活運用相似三角形的判定與性質是解本題的關鍵．