Question

10．將紙片△ABC沿AD折疊，使C點剛好落在AB邊上的E處，展開如圖（1）．

【操作觀察】（1）作DF⊥AC，且DF=3，AB=8，則S_△ABD=12；
【理解運用】如圖（2）若∠BAC=60°，AC=8，F(xiàn)是AC的中點，連接EF交AD于點M，點P是AD上的動點，連接PF和PC，試說明：PF+PC≥$4\sqrt{3}$；
【拓展提高】請根據(jù)前面的解題經(jīng)驗，解決下面問題：如圖（3），在平面直角坐標系中，A點的坐標為（1，3），B點的坐標為（3，-2），點P是x軸上的動點，連接AP、BP，求AP-BP的最大值，并寫出P點的坐標．

Answer 1

分析 【操作觀察】根據(jù)折疊的特性可知折痕AD為∠BAC的角平分線，由此可得出點D到AB和點D到AC的距離相等，再根據(jù)三角形的面積公式即可得出結論；
【理解運用】連接CM、PE、CE，根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊得出當點P與點M重合時，PF+PC值最小，再根據(jù)折疊的性質得出AE=AC，結合∠BAC=60°即可得出△AEC為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質求出EF的長度即可證出結論；
【拓展提高】作點B關于x軸的對稱點B′，連接AB′、PB′，延長AB′交x軸于點P′，根據(jù)三角形內兩邊之差小于第三邊找出當點P和P′點重合時，AP-BP的值最大，再由點B的坐標可得出點B′的坐標，結合點A、B′的坐標即可求出直線AB′的解析式，令其y=0求出x即可找出點P′的坐標，由此即可得出結論．

解答 【操作觀察】解：∵將紙片△ABC沿AD折疊，使C點剛好落在AB邊上的E處，
∴AD為∠BAC的角平分線，
∴點D到AB和點D到AC的距離相等．
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$AB•DF=$\frac{1}{2}$×8×3=12．
故答案為：12．
【理解運用】證明：連接CM、PE、CE，如圖1所示．

∵將紙片△ABC沿AD折疊，使C點剛好落在AB邊上的E處，
∴AD為∠BAC的角平分線，AE=AC，
∴PE=PC，ME=MC，
在△PEF中，EF=ME+MF≤PE+PF=PC+PF，
∴PC+PF≥EF．
∵AE=AC，∠BAC=60°，
∴△AEC為等邊三角形，
又∵AC=8，點F是AC的中點，
∴EF=AC•sin∠BAC=4$\sqrt{3}$，
∴PF+PC≥4$\sqrt{3}$．
【拓展提高】解：作點B關于x軸的對稱點B′，連接AB′、PB′，延長AB′交x軸于點P′，如圖2所示．

∵點B和B′關于x軸對稱，
∴PB=PB′，P′B′=P′B，
∵在△APB′中，AB′＞AP-PB′，
∴AP′-B′P′=AP′-BP′=AB′＞AP-PB′=AP-PB，
∴當點P與點P′重合時，AP-BP最大．
設直線AB′的解析式為y=kx+b，
∵點B（3，-2），
∴點B′（3，2），AB′=$\sqrt{（1-3）^{2}+（3-2）^{2}}$=$\sqrt{5}$．
將點A（1，3）、B′（3，2）代入y=kx+b中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{3=k+b}\\{2=3k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{7}{2}}\end{array}\right.$，
∴直線AB′的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{7}{2}$．
令y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{7}{2}$中y=0，則-$\frac{1}{2}$x+$\frac{7}{2}$=0，
解得：x=7，
∴點P′（7，0）．
故AP-BP的最大值為$\sqrt{5}$，此時P點的坐標為（7，0）．

點評 本題考查了折疊的性質、三角形的面積公式、等邊三角形的判定及性質、三角形的三邊關系以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，解題的關鍵是：【操作觀察】利用三角形的面積公式直接求值；【理解運用】找出當點P和點M重合時，PF+PC值最�。弧就卣固岣摺空页霎擜P-BP的值最大時點P的位置．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)折疊的性質找出相等的角或邊是關鍵．