Question

11．取一張正方形的紙片進(jìn)行折疊，具體操作過程如下：
第一步：如圖1，先把正方形ABCD對(duì)折，折痕為MN．
第二步：點(diǎn)G在線段 MD上，將△GCD沿GC翻折，點(diǎn)D恰好落在MN上，記為點(diǎn)P，連接BP．
（1）判斷△PBC的形狀，并說(shuō)明理由；
（2）作點(diǎn)C關(guān)于直線AP的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接PC′、DC′．
①在圖2中補(bǔ)全圖形，并求出∠APC′的度數(shù)；
②猜想∠PC′D的度數(shù)，并加以證明；（溫馨提示：當(dāng)你遇到困難時(shí)，不妨連接AC′、CC′，研究圖形中特殊的三角形）

Answer 1

分析 （1）由正方形的性質(zhì)得出AB=BC=CD，∠ABC=90°，由折疊的性質(zhì)得：BN=NC=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$PC，MN⊥BC，得出PB=PC，∠PNC=90°，在Rt△PNC中，由三角函數(shù)得出sin∠NPC=$\frac{NC}{PC}$=$\frac{1}{2}$，求出∠NPC=30°，得出∠PCB=60°，即可得出結(jié)論；
（2）①根據(jù)題意補(bǔ)全圖形，由①得：∠PCB=∠PBC=∠BPC=60°，PB=PC=BC，由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理得出∠BAP=∠BPA=75°，求出∠APC=∠BPA+∠BPC=135°，再由得出的性質(zhì)得出∠APC'=∠APC=135°；
②由對(duì)稱的性質(zhì)得：AC=AC'，∠CAP=∠C'AP=30°，證出△CAC'是等邊三角形，得出AC'=CC'，∠AC'C=60°，由SSS證明△AC'D≌△CC'D，得出∠AC'D=∠CC'D=$\frac{1}{2}$∠AC'C=30°，由∠AC'P=∠ACP=15°，即可得出∠PC'D=15°．

解答 解：（1）△PBC是等邊三角形，理由如下：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD，∠ABC=90°，
由折疊的性質(zhì)得：BN=NC=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$PC，MN⊥BC，
∴PB=PC，∠PNC=90°，
在Rt△PNC中，sin∠NPC=$\frac{NC}{PC}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠NPC=30°，
∴∠PCB=60°，
∴△PBC是等邊三角形；

（2）①補(bǔ)全圖形如圖2所示：
由①得：∠PCB=∠PBC=∠BPC=60°，PB=PC=BC，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABP=90°-60°=30°，
∵AB=BC，
∴AB=PB，
∴∠BAP=∠BPA=$\frac{1}{2}$（180°-30°）=75°，
∴∠APC=∠BPA+∠BPC=75°+60°=135°，
∵C關(guān)于直線AP的對(duì)稱點(diǎn)為C′，
∴∠APC'=∠APC=135°；
②連接AC'，CC'，如圖3所示：
由對(duì)稱的性質(zhì)得：AC=AC'，∠CAP=∠C'AP=30°，
∴∠CAC'=60°，
∴△CAC'是等邊三角形，
∴AC'=CC'，∠AC'C=60°，
在△AC'D和△CC'D中，$\left\{\begin{array}{l}{AC'=CC'}&{\;}\\{AD=CD}&{\;}\\{C'D=C'D}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AC'D≌△CC'D（SSS），
∴∠AC'D=∠CC'D=$\frac{1}{2}$∠AC'C=30°，
∵∠AC'P=∠ACP=15°，
∴∠PC'D=15°．

點(diǎn)評(píng) 本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、三角函數(shù)、折疊的性質(zhì)、對(duì)稱的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度．