Question

18．如圖，已知函數(shù)y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)P是x軸上一點(diǎn)，若△PAB為等腰三角形，則點(diǎn)P的坐標(biāo)不可能是（　�。�

• A． （-3-2$\sqrt{3}$，0）
• B． （3，0）
• C． （-1，0）
• D． （2$\sqrt{3}$，0）

Answer 1

分析 可先求得A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用勾股定理可求得AB的長，再分別根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)對(duì)四個(gè)選項(xiàng)分別判斷即可．

解答 解：如下圖所示：

∵函數(shù)y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，
在y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$中，令y=0可得x=-3，令x=0可得y=$\sqrt{3}$，
∴A（-3，0），B（0，$\sqrt{3}$），
∴AB=$\sqrt{{3}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
（1）當(dāng)AB=BP時(shí)，點(diǎn)P與P₁ 重合，則P₁ （3，0）；
（2）當(dāng)AP=BP時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)P₂重合，如圖②所示：
過AB的中點(diǎn)C作x軸的垂線，垂足為D，
由題意知：CD²=AD•PD，
∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，0）
∴（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²=（-$\frac{3}{2}$+3）（a+3）
解之得：a=-1
即：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，0）
（3）當(dāng)AB=AP時(shí)，點(diǎn)P₃重合，則P₃（-3-2$\sqrt{3}$，0）
綜上所述：若△PAB為等腰三角形，則點(diǎn)P的坐標(biāo)可能是（3，0）、（-1，0）、（-3-2$\sqrt{3}$，0）
故：選D

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、一次函數(shù)的圖形的性質(zhì)等問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)等腰三角形的概念作圖分別討論P(yáng)點(diǎn)的位置及坐標(biāo)．