Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，把邊長分別為x₁，x₂，x₃…，x_n的n個(gè)正方形依次放入△ABC中，請(qǐng)回答下列問題：
（1）按要求填表

n	1	2	3
xn

（2）第n個(gè)正方形的邊長xn=

 

；
（3）有甲、乙兩同學(xué)，甲從2，4，6，8這四個(gè)數(shù)字中抽取2個(gè)，乙得到剩下的兩個(gè)數(shù)字，甲同學(xué)抽取的數(shù)字表示m，n，乙同學(xué)抽取的數(shù)字表示p，q，求甲乙同學(xué)抽取的數(shù)字恰好能符合關(guān)系式x_m•x_n=x_p•x_q的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),列表法與樹狀圖法

專題：

分析：（1）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)就可以求出第一個(gè)正方形的邊長，其它正方形的邊長求法相同；
（2）根據(jù)所求x_n的一般式進(jìn)行計(jì)算；
（3）首先根據(jù)（2）的結(jié)論得到m、n和p、q之間的關(guān)系，利用列舉法求解．

解答：解：（1）設(shè)第一個(gè)正方形的邊長是x，則

DE

AC

=

BD

AB

=

x

2

，
同理得到

DF

BC

=

AD

AB

=x，
兩式相加得到

x

2

+x=1
解得x=

2

3

，
同理解得：第二個(gè)的邊長是

4

9

=（

2

3

）²，第三個(gè)的邊長是

8

27

=（

2

3

）³；

n	1	2	3
xn	2 3	4 9	8 27

（2）第n個(gè)正方形的邊長xn=（

2

3

）ⁿ；
（3）由關(guān)系式x_m•x_n=x_p•x_q，∴（

2

3

）^m•（

2

3

）ⁿ=（

2

3

）^p•（

2

3

）^q，
∴（

2

3

）^m+n=（

2

3

）^p+q，
得：m+n=p+q．
；
數(shù)字恰好能符合關(guān)系式x_m•x_n=x_p•x_q得的概率是

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊的比相等求出邊長，是解決本題的關(guān)鍵．