Question

問題：如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，⊙O是Rt△ABC的內(nèi)切圓，切點分別是D、E、F，若三角形三邊長分別記為BC=a，AC=b，AB=c，內(nèi)切圓半徑記為r，現(xiàn)有小堯和小淇對半徑進行計算．下面是兩位同學(xué)簡要的解答過程：
小堯同學(xué)解法：
分別連接OA、OB、OC、OD、OE、OF，∵⊙O是△ABC內(nèi)切圓，D、E、F為切點，∴CD=CE，AE=AF，BD=BF，∠OEC=∠ODC=90°，∵∠C=Rt∠，CD=CE，∴四邊形CDOE是正方形，∴CD=CE=r，AE=b-r=AF，BD=a-r=BF，∵BF+AF=AB=c，∴（a-r）+（b-r）=c；
小淇同學(xué)解法：
分別連接OA、OB、OC、OD、OE、OF，∵⊙O是△ABC內(nèi)切圓，D、E、F為切點，∴OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB于D、E、F，OD=OE=OF，∴S_△ABC=S_△BOC+S_△AOC+S_△AOB=

1

2

BC•DO+

1

2

AC•OE+

1

2

AB•FO=

1

2

（BC+AC+AB）•OD，∵∠C=90°，∴

1

2

ab=

1

2

（a+b+c）•r，∴r=

a+b-c

2

∴r=

ab

a+b+c

（1）知識理解：
對于兩位同學(xué)的解法，正確的判斷是

 

A．兩人都正確  B．兩人都錯誤  C．小堯正確，小淇錯誤  D．小堯錯誤，小淇正確
（2）方法延伸：
如圖2，在Rt△ABC中，∠C=90°，⊙O是Rt△ABC的內(nèi)切圓，⊙O與AB相切于點D，且AD=7，BD=3，求△ABC的面積．
（3）應(yīng)用拓展：
如圖3，△ABC中，A、B、C三點的坐標分別為A（0，8），B（-6，0），C（15，0）．若△ABC內(nèi)心為D，則點D的坐標為

 

．（直接寫出結(jié)果）

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：綜合題

分析：（1）兩位同學(xué)的計算都正確；
（2）設(shè)AC=b，BC=a，AB=AD+BD=10，根據(jù)切線長定理得到AD=

AB+AC-BC

2

=

10+b-a

2

=7，則b-a=4，加上勾股定理a²+b²=100，所以S=

1

2

ab=

1

4

[（a²+b²）-（b-a）²]=21；
（3）延長AD交BC于E，作DH⊥BC于H，如圖3，先利用勾股定理計算出AB=10，AC=15，再計算S_△ABC=S_△OAB+S_△OAC=84，根據(jù)切線的性質(zhì)得DH為⊙D的半徑，則利用題中的結(jié)論得到

1

2

•DH•（10+15+21）=84，解得DH=

7

2

，然后根據(jù)點D為△ABC的內(nèi)心得到AE平分角∠BAC，則根據(jù)角平分線定理得到

BE

CE

=

AB

AC

=

10

17

，可計算出BE=

70

9

，所以O(shè)E=BE-BO=

16

9

，接著證明△EDH∽△EAO，利用相似比計算出EH=

7

9

，則OH=OE-EH=

16

9

-

7

9

=1，于是可得到D點坐標為（1，

7

2

）．

解答：解：（1）A；
（2）設(shè)AC=b，BC=a，AB=AD+BD=10，
∴AD=

AB+AC-BC

2

=

10+b-a

2

=7，
∴b-a=4，
又∵a²+b²=100，
∴S=

1

2

ab=

1

4

[（a²+b²）-（b-a）²]=

1

4

×（100-16）=21；
（3）延長AD交BC于E，作DH⊥BC于H，如圖3，
∵A（0，8），B（-6，0），C（15，0），
∴OB=6，OA=8，OC=15，
∴AB=

OB2+OA2

=10，AC=

OA2+OC2

=15，
∴S_△ABC=S_△OAB+S_△OAC=

1

2

•6•8+

1

2

•8•15=84，
∵⊙D為△ABC的內(nèi)切圓，
∴DH為⊙D的半徑，
∴S_△ABC=

1

2

DH•（AB+AC+BC），
即

1

2

•DH•（10+15+21）=84，
∴DH=

7

2

，
∵點D為△ABC的內(nèi)心，
∴AE平分角∠BAC，
∴

BE

CE

=

AB

AC

=

10

17

，
∴BE=

10

27

•21=

70

9

，
∴OE=BE-BO=

16

9

，
∵DH∥OA，
∴△EDH∽△EAO，
∴

EH

EO

=

DH

AO

，即

EH

16 9

=

7 2

8

，
∴EH=

7

9

，
∴OH=OE-EH=

16

9

-

7

9

=1，
∴D點坐標為（1，

7

2

）．
故答案為A，（1，

7

2

）．

點評：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)、切線長定理；會利用角平分線定理、相似比和勾股定理計算線段的長；理解坐標與圖形性質(zhì)．