Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形ABCO是菱形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3，4），點(diǎn)C在x軸的正半軸上，直線AC交y軸于點(diǎn)M，AB邊交y軸于點(diǎn)H．
（1）求OA的長(zhǎng)度，并求直線AC的解析式；
（2）連接BM，如圖2，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線ABC方向以2個(gè)單位/秒的速度向終點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)△BMP的面積為S（S≠0），點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式（要求寫(xiě)出自變量t的取值范圍）；
（3）若P為直線AB上的一點(diǎn)，且△BMP為等腰三角形，直接寫(xiě)出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)勾股定理，可得OA的長(zhǎng)，根據(jù)菱形的性質(zhì)，可得OC的長(zhǎng)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）分類(lèi)討論：0≤t＜2.5，2.5＜t≤5，根據(jù)速度與時(shí)間的關(guān)系，可得PB的長(zhǎng)，根據(jù)三角形的面積公式，可得函數(shù)解析式；
（3）根據(jù)等腰三角的定義，分類(lèi)討論：BM=PM，BM=PB，PB=PM，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離相等，可得方程，根據(jù)解方程，可得答案．

解答：解：（1）在直角三角形AOH中，由勾股定理，得
AO=

AH2+OH2

=

32+42

=5，
由點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形ABCO是菱形，得
OC=OA=AB=5，即C（5，0）
設(shè)直線AC的解析式y(tǒng)=kx+b，函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)A、C，得

5k+b=0 -3k+b=4

，解得

k=- 1 2 b= 5 2

，
直線AC的解析式y(tǒng)=-

1

2

x+

5

2

；
（2）設(shè)M到直線BC的距離為h，
當(dāng)x=0時(shí)，y=

5

2

，即M（0，

5

2

），
HM=HO-OM=4-

5

2

=

3

2

，
由S_△ABC=S_△AMB+S_BMC，

1

2

AB•OH=

1

2

AB•HM+

1

2

BC•h，

1

2

×5×4=

1

2

×5×

3

2

+

1

2

×5h，
解得h=

5

2

，
①當(dāng)0≤t＜

5

2

時(shí)，BP=BA-AP=5-2t，HM=OH-OM=

3

2

，
s=

1

2

BP•HM=

1

2

×

3

2

（5-2t）=-

3

2

t-

15

4

，
②當(dāng)2.5＜t≤5時(shí)，BP=2t-5，h=

5

2

S=

1

2

BP•h=

1

2

×

5

2

（2t-5）=

5

2

t-

25

4

；
（3）①當(dāng)BM=PM時(shí)，即MH垂直平分PB，
PH=BH=BA-HA=5-3=2，即P₁（-2，4）；
②當(dāng)BM=PB時(shí)，設(shè)P（a，4），|5-a|=

HM2+BH2

=

5

2

，
解得a=

5

2

或a=

15

2

，即P₂（

5

2

，4），P₃（

15

2

，4）；
③當(dāng)PB=PM時(shí)，|5-a|=

a2+(4- 5 2 )2

，
平方，得a²-10a+25=a²+

9

4

．
解得a=

91

40

，即P₄（

91

40

，4），
綜上所述：P₁（-2，4），P₂（

5

2

，4），P₃（

15

2

，4），P₄（

91

40

，4）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)綜合題，（1）利用了勾股定理求線段，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，（2）分類(lèi)討論，利用了三角形的面積公式；（3）分類(lèi)討論，利用了等腰三角形的定義，兩點(diǎn)間的距離公式．