Question

如圖，已知AB為⊙O的直徑，AC切⊙O于點(diǎn)A，過C作⊙O的切線CD，切⊙O于D．DE⊥AB于點(diǎn)E，連接BC交于點(diǎn)F．求證：DF=FE．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)

專題：證明題

分析：如圖，作輔助線；證明CA=CD（設(shè)為λ），BG=DG（設(shè)為μ），AC∥DE∥BG，得到△CDF∽△CGB；列出比例式求得DF=

λμ

λ+μ

；同理可求得EF=

λμ

λ+μ

，問題即可解決．

解答：解：如圖，過點(diǎn)B作⊙O的切線BG，交AD的延長線于點(diǎn)G；
∵AC、CD、BG分別為⊙O的切線，
∴CA=CD（設(shè)為λ），BG=DG（設(shè)為μ），
AC⊥AB，BG⊥AB；而DE⊥AB，
∴AC∥DE∥BG，
∴△CDF∽△CGB，
∴

DF

μ

=

λ

λ+μ

，DF=

λμ

λ+μ

；
∵△BEF∽△BAC，
∴

EF

λ

=

BE

BA

，而

BE

BA

=

DG

CG

=

μ

λ+μ

，
∴EF=

λμ

λ+μ

，
∴DF=EF．

點(diǎn)評：該題主要考查了切線的性質(zhì)及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是作輔助線，靈活運(yùn)用切線的性質(zhì)定理等幾何知識點(diǎn)來分析、判斷、推理或解答．