Question

14．如圖1，在邊長為3的正方形ABCD中，直角∠MAN的兩邊AM、AN重疊在正方形的兩鄰邊上，現(xiàn)將直角∠MAN繞頂點A旋轉(zhuǎn)．
（1）如圖2，AM與邊長BC相交于點E，AN與邊長CD的延長線相交于點F，求證：BE=DF；
（2）如圖3，AM、AN與BC、CD的延長線分別相交于點E、F，AM與CD相交于點P，求△APF與△CPE面積的差；
（3）若AM、AN與直線BD分別相交于點G、H，且BG=$\sqrt{2}$，求DH的長．

Answer 1

分析 （1）利用全等三角形的判定和性質(zhì)證明△ABE與△ADF全等，即可得到BE=DF；
（2）利用①的結(jié)論和三角形面積的關(guān)系進行證明即可；
（3）由勾股定理求出BD，證明△BEG∽△DAG，得出$\frac{BE}{AD}=\frac{BG}{DG}$=$\frac{1}{2}$，求出$\frac{DF}{AB}$=$\frac{1}{2}$，證明△DFH∽△BAH，得出$\frac{DH}{BH}=\frac{DF}{AB}$=$\frac{1}{2}$，因此DH=$\frac{1}{2}$BH，即可得出DH=BD=3$\sqrt{2}$．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AB=AD=3，∠BAD=∠B=∠ADC=∠ADF=90°，
∵∠MAN=90°，
∴∠BAE=∠DAF，
∴在△ABE與△ADF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠DAF}&{\;}\\{AB=AD}&{\;}\\{∠B=∠ADF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADF（ASA），
∴BE=DF；
（2）解：同（1）可證：BE=DF，
連接AC，如圖所示：
S_△APF-S_△CPE=S_△ACF-S_△ACE
=$\frac{1}{2}$CF•AD-$\frac{1}{2}$CE•AB=$\frac{3}{2}$（CF-CE）
=$\frac{3}{2}$[CD+DF-（BE-BC）]
=$\frac{3}{2}$（CD+BC）=9；
（3）解：∵∠BAD=90°，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∵BG=$\sqrt{2}$，
∴DG=BD-BG=2$\sqrt{2}$，
∵AD∥BC，
∴△BEG∽△DAG，
∴$\frac{BE}{AD}=\frac{BG}{DG}$=$\frac{1}{2}$，
∵AB=AD，BE=DF，
∴$\frac{DF}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∵AB∥CD，
∴△DFH∽△BAH，
∴$\frac{DH}{BH}=\frac{DF}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∴DH=$\frac{1}{2}$BH，
∴DH=BD=3$\sqrt{2}$．

點評 此題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識；熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明三角形全等和三角形相似是解決問題的關(guān)鍵．