Question

19．已知：如圖（1），△OAB是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，0A在x軸上，點(diǎn)B在第一象限內(nèi)；△OCA是一個(gè)等腰三角形，OC=AC，頂點(diǎn)C在第四象限，∠C=120°．現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、O兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位的速度沿OC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P以每秒3個(gè)單位的速度沿A→O→B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨即停止．
（1）求在運(yùn)動(dòng)過程中形成的△OPQ的面積S與運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系，并寫出自變量t的取值范圍；
（2）在線段OA上（點(diǎn)O、A除外）存在點(diǎn)D，使得△OCD為等腰三角形，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）如圖（2），現(xiàn)有∠MCN=60°，其兩邊分別與OB、AB交于點(diǎn)M、N，連結(jié)MN．將∠MCN繞著C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)（0°＜旋轉(zhuǎn)角＜60°），使得M、N始終在邊OB和邊AB上．試判斷在這一過程中，△BMN的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化？若沒有變化，請(qǐng)求出其周長(zhǎng)；若發(fā)生變化，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）由于點(diǎn)Q從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C需要 $\frac{2\sqrt{3}}{3}$秒，點(diǎn)P從點(diǎn)A→O→B需要 $\frac{4}{3}$秒，所以分兩種情況討論：①0＜t＜$\frac{2}{3}$；②$\frac{2}{3}$＜t≤$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．針對(duì)每一種情況，根據(jù)P點(diǎn)所在的位置，由三角形的面積公式得出△OPQ的面積S與運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系，并且得出自變量t的取值范圍；
（2）如果△OCD為等腰三角形，那么分D為頂角頂點(diǎn)，C為頂角頂點(diǎn)，D為頂角頂點(diǎn)，分別討論，得出結(jié)果；
（3）如果延長(zhǎng)BA至點(diǎn)F，使AF=OM，連接CF，則由SAS可證△MOC≌△FAC，得出MC=CF，再由SAS證出△MCN≌△FCN，得出MN=NF，得出△BMN的周長(zhǎng)=BA+BO=4即可．

解答 解：（1）過點(diǎn)C作CD⊥OA于點(diǎn)D．如圖1所示：
∵OC=AC，∠ACO=120°，
∴∠AOC=∠OAC=30°．
∵OC=AC，CD⊥OA，
∴OD=DA=1．
在Rt△ODC中，OC=$\frac{OD}{cos30°}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
①當(dāng)0＜t＜$\frac{2}{3}$時(shí)，OQ=t，AP=3t，OP=OA-AP=2-3t．
過點(diǎn)Q作QE⊥OA于點(diǎn)E．
在Rt△OEQ中
∵∠AOC=30°，
∴QE=$\frac{1}{2}$OQ=$\frac{t}{2}$，
∴S_△OPQ=$\frac{1}{2}$OP•EQ=$\frac{1}{2}$（2-3t）•$\frac{t}{2}$=-$\frac{3}{4}$t²+$\frac{1}{2}$t，
即S=-$\frac{3}{4}$t²+$\frac{1}{2}$t；
②當(dāng)$\frac{2}{3}$＜t≤$\frac{2\sqrt{3}}{3}$時(shí)，如圖2所示：
OQ=t，OP=3t-2．
∵∠BOA=60°，∠AOC=30°，
∴∠POQ=90°．
∴S_△OPQ=$\frac{1}{2}$OQ•OP=$\frac{1}{2}$t•（3t-2）=$\frac{3}{2}$t²-t，
綜上所述：當(dāng)0＜t＜$\frac{2}{3}$時(shí)，S=-$\frac{3}{4}$t²+$\frac{1}{2}$t；當(dāng)$\frac{2}{3}$＜t≤$\frac{2\sqrt{3}}{3}$時(shí)，S=$\frac{3}{2}$t²-t；
（2）①當(dāng)OD=CD時(shí)，∠COA=30°，則OD=$\frac{2}{3}$D（$\frac{2}{3}$，0）；
②當(dāng)OD=OC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$時(shí)，D（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0）；
③以C為頂點(diǎn)，此時(shí)D點(diǎn)和A點(diǎn)重合；
因此，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（$\frac{2}{3}$，0）或（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0）；
（3）△BMN的周長(zhǎng)不發(fā)生變化．理由如下：
延長(zhǎng)BA至點(diǎn)F，使AF=OM，連接CF；如圖3所示．
在△MOC和△FAC中，$\left\{\begin{array}{l}{OM=AF}&{\;}\\{∠MOC=∠FAC=90°}&{\;}\\{OC=AC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△MOC≌△FAC（SAS），
∴MC=CF，∠MCO=∠FCA．
∴∠FCN=∠FCA+∠NCA=∠MCO+∠NCA
=∠OCA-∠MCN
=60°，
∴∠FCN=∠MCN，
在△MCN和△FCN中，$\left\{\begin{array}{l}{MC=CF}&{\;}\\{∠FCN=∠MCN}&{\;}\\{CN=CN}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△MCN≌△FCN（SAS），
∴MN=NF．
∴BM+MN+BN=BM+NF+BN=BO-OM+BA+AF=BA+BO=4．
∴△BMN的周長(zhǎng)不變，其周長(zhǎng)為4．

點(diǎn)評(píng) 本題是幾何變換綜合題目，考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．本題難度很大．證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵，注意分類討論時(shí)，做到不重復(fù)，不遺漏．