Question

10．已知：直線l：y=x+2與過點(diǎn)（0，-2），且與平行于x軸的直線交于點(diǎn)A，點(diǎn)A關(guān)于直線x=-1的對稱點(diǎn)為點(diǎn)B．
（1）求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，求拋物線解析式；
（3）若拋物線y=-x²+bx+c的頂點(diǎn)在直線l上移動，當(dāng)拋物線與線段AB有一個公共點(diǎn)時，求拋物線頂點(diǎn)橫坐標(biāo)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)A在直線l上可得A的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)A、B關(guān)于直線x=-1對稱可得點(diǎn)B坐標(biāo)；
（2）根據(jù)（1）中A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得解析式；
（3）由頂點(diǎn)在直線l上可設(shè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（t，t+2），繼而可得拋物線解析式為y=-（x-t）²+t+2，根據(jù)拋物線與線段AB有一個公共點(diǎn)，考慮拋物線過點(diǎn)A或點(diǎn)B臨界情況可得t的范圍．

解答 解：（1）由題可知A點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-2，
∵點(diǎn)A在直線l：y=x+2上，
∴A（-4，-2），
由對稱性可知B（2，-2）；

（2）∵拋物線y=-x²+bx+c過點(diǎn)A、B，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-16-4b+c=-2}\\{-4+2b+c=-2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=6}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=-x²-2x+6；

（3）∵拋物線y=-x²+bx+c頂點(diǎn)在直線y=x+2上，
由題可知，設(shè)拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（t，t+2），
∴拋物線解析式可化為y=-（x-t）²+t+2．
把A（-4，-2）代入解析式可得-2=-（-4-t）²+t+2，
解得：t=-3或t=-4．
∴-4≤t＜-3，
把B（2，-2）代入解析式可得-2=-（2-t）²+t+2．
解得：t=0或t=5，
∴0＜t≤5．
綜上可知t的取值范圍時-4≤t＜-3或0＜t≤5．

點(diǎn)評 本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，待定系數(shù)求解析式是解題的根本、前提，將拋物線與線段AB有一個公共點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程問題是解題關(guān)鍵．