Question

在△ABC中，D是邊BC的中點(diǎn)．
（1）①如圖1，求證：△ABD和△ACD的面積相等；
②如圖2，延長(zhǎng)AD至E，使DE=AD，連結(jié)CE，求證：AB=EC．
（2）當(dāng)∠BAC=90°時(shí)，可以結(jié)合利用以上各題的結(jié)論，解決下列問(wèn)題：
①求證：AD=

1

2

BC（即：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）；
②已知BC=4，將△ABD沿AD所在直線翻折，得到△ADB′，若△ADB′與△ABC重合部分的面積等于△ABC面積的

1

4

，請(qǐng)畫出圖形（草圖）并求出AC的長(zhǎng)度．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),直角三角形斜邊上的中線,翻折變換（折疊問(wèn)題）

專題：

分析：（1）如圖，作輔助線；運(yùn)用三角形的面積公式即可解決問(wèn)題；
（2）①證明△ABD≌△ECD，即可解決問(wèn)題．
②畫出圖形，運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想，逐一分類解析，即可解決問(wèn)題．

解答：解：（1）證明：①過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC，垂足為H，
則S△ABD=

1

2

BD•AH，S△ACD=

1

2

CD•AH，
∵點(diǎn)D是BC中點(diǎn)，
∴BD=CD，
∴△ABD和△ACD的面積相等．
②在△ABD和△ECD中，

BD=CD ∠BDA=∠CDE AD=DE

，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴AB=EC．
（2）①∵△ABD≌△ECD（已證）
∴∠B=∠ECD；
∵∠B+∠ACB=90°，
∴∠ECD+∠ACB=90°，
∴∠ACE=∠BAC=90°；
在△ABC與△CEA中，

AB=CE ∠BAC=∠ECA AC=CA

，
∴△ABC≌△CEA（SAS），
∴BC=AE；
∵AD=

1

2

AE，
∴AD=

1

2

BC．
②畫草圖如下：

（Ⅰ）當(dāng)AB＞AC時(shí)，如圖3，由△ADB′與△ABC重合部分的面積等于△ABC面積的

1

4

，
結(jié)合（1）①題的結(jié)論，可以得到點(diǎn)O既即是ABˊ的中點(diǎn)，也是CD的中點(diǎn)，
故四邊形ADB′C為平行四邊形，
∴AC=BˊD=BD=

1

2

BC=2．
（Ⅱ）當(dāng)AB＜AC時(shí)，
如圖4，類比第（Ⅰ）題，同理可證△AOBˊ≌△COD，
∴ABˊ=CD=2，∠Bˊ=∠CDO，
又∵∠Bˊ=∠B，
∴∠B=∠CDO，
∴AB∥OD，
∴∠COD=∠A=90°，
又∵DO=OBˊ=1，
由勾股定理可得CO=

3

，
∴AC=2CO=2

3

．
（Ⅲ）當(dāng) AB=AC時(shí)，由等腰三角形的性質(zhì)可知，
折疊后重合的面積等于△ABC面積的

1

2

，
不可能等于

1

4

，所以不合題意，舍去．
綜上所述：AC=2或2

3

．

點(diǎn)評(píng)：該題主要考查了直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用等幾何知識(shí)點(diǎn)問(wèn)題；牢固掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．