Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的對稱軸是直線x=

1

3

，在下列結(jié)論中，唯一正確的是

 

．（請將正確的序號填在橫線上）
①a＜0；②c＜-1； ③2a+3b=0；④b²-4ac＜0；⑤當x=

1

3

時，y的最小值為

9c-a

9

．

Answer 1

考點：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系

專題：

分析：根據(jù)二次函數(shù)的圖象開口方向即可判斷A；由二次函數(shù)的圖象與y軸的交點位置即可判斷B；把x=-1代入二次函數(shù)的解析式即可判斷C；根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸即可求出D．

解答：解：①∵二次函數(shù)的圖象開口向上，
∴a＞0，故本選項錯誤；
②∵二次函數(shù)的圖象與y軸的交點在點（0，-1）的上方，
∴c＞-1，故本選項錯誤；
③、∵二次函數(shù)的圖象的對稱軸是直線x=

1

3

，
∴-

b

2a

=

1

3

，
-3b=2a，
2a+3b=0，故本選項正確；
④∵二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點，
∴b²-4ac＞0，故本選項錯誤；
⑤∵二次函數(shù)的圖象的對稱軸是直線x=

1

3

，
∴-

b

2a

=

1

3

，
∴-3b=2a，b=-

2

3

a，
∴y_最小值=

1

9

a+

1

3

b+c=

1

9

a+

1

3

×（-

2

3

a）+c=

9c-a

9

；
即y的最小值為

9c-a

9

，故本選項正確；
故答案為：③⑤．

點評：本題考查了二次函數(shù)的圖象和系數(shù)的關(guān)系，題目具有一定的代表性，是一道比較好的題目，注意用了數(shù)形結(jié)合思想，二次函數(shù)的圖象開口方向決定a的符號，二次函數(shù)的圖形與y軸的交點位置決定c的符號，根據(jù)二次函數(shù)的圖象的對稱軸是直線x=

1

3

得出-

b

2a

=

1

3

，把x=

1

3

代入y=ax²+bx+c（a≠0）得出y=

1

9

a+

1

3

b+c等等．