Question

如圖，四邊形AOBC是矩形，O為原點，A、B的坐標分別為（0，4）、（6，0），F(xiàn)是邊BC上的一個動點（不與B，C重合），過F點的反比例函數(shù)y=

k

x

（k＞0）的圖象與AC邊交于點E．
（1）當k=2時，寫出點E、F的坐標；
（2）求

CE

CF

的值；
（3）是否存在這樣的點F，使得將△CEF沿EF對折后，C點恰好落在OB上？若存在，求出此時點F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據題意可知E的縱坐標為4，F(xiàn)的橫坐標為6，分別代入y=

2

x

，即可求得E、F的坐標；
（2）根據反比例函數(shù)的性質得出，xy=k，即可得出AE•AO=BF•BO，從而得出

AE

AC

=

BF

BC

，進而求得

CE

CF

=

AC

BC

=

6

4

=

3

2

；
（3）設折疊之后C點在OB上的對稱點為C'，連接C'E、C'F，過E作EG垂直于OB于點G，則根據折疊性質、相似三角形、勾股定理得出即可．

解答：解：（1）當k=2時，則y=

2

x

，
∵反比例函數(shù)y=

2

x

的圖象經過點E、F，
∵A、B的坐標分別為（0，4）、（6，0），
∴E的縱坐標為4，F(xiàn)的橫坐標為6，
∴E（

1

2

，4），F(xiàn)（6，

1

3

）；

（2）∵根據反比例函數(shù)的性質得出，xy=k，
∴AE•AO=BF•BO，
∴

AE

OB

=

BF

AO

，
∵AC=OB，BC=AO，
∴

AE

AC

=

BF

BC

，
∴EF∥BC，
∴

EC

AC

=

CF

BC

，
∴

CE

CF

=

AC

BC

=

6

4

=

3

2

；

（3）設存在這樣的點F，將△CEF沿EF對折后，C點恰好落在OB邊上的C'點，
過點E作EG⊥OB，垂足為G．
由題意得：EG=AO=4，
把y=4代入y=

k

x

得：x=

1

4

k，把x=6代入y=

k

x

得：y=

1

6

k，
∴EC'=EC=6-

1

4

k，C′F=CF=4-

1

6

k，
∵∠EC'G+∠FC'B=∠FC'B+∠C'FB=90°，
∴∠EC'G=∠C'FB．
又∵∠EGC'=∠C'BF=90°，
∴△EC'G∽△C'FB．
∴EG：C'B=EC'：C'F，
∴4：C'B=（6-

1

4

k）：（4-

1

6

k）=[3（2-

1

12

k）]：[2（2-

1

12

k）]，
∴C'B=

8

3

，
∵C'B²+BF²=C'F²，
∴（

8

3

）²+（

1

6

k）²=（4-

1

6

k）²，
解得k=

20

3

，
∴BF=

k

6

=

10

9

，
∴存在符合條件的點F，它的坐標為（6，

10

9

）．

點評：此題主要考查了反比例函數(shù)的性質以及相似三角形的判定與性質，特別注意利用數(shù)形結合以及利用相似三角形的性質是這部分考查的重點也是難點．