Question

17．如圖，在矩形ABCD中，AB=2，AD=5，過點(diǎn)A、B作⊙O，交AD、BC于點(diǎn)E、F，連接BE、CE，過點(diǎn)F作FG⊥CE，垂足為G．
（1）當(dāng)點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)時(shí)，求證：直線FG與⊙O相切；
（2）若FG∥BE時(shí)，求AE的長．

Answer 1

分析 （1）連接OF，由點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，得到BF=CF，在矩形ABCD中，∠A=90°，證得BE是⊙O的直徑，求得BO=OE，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到OF∥CE，證得OF⊥FG，即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到BE⊥CE，由余角的性質(zhì)得到∠ABE=∠DEC，證得△ABE∽△CDE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：連接OF，
∵點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，
∴BF=CF，
在矩形ABCD中，∵∠A=90°，
∴BE是⊙O的直徑，
∴BO=OE，
∴OF∥CE，
∵FG⊥CE，
∴OF⊥FG，
∴直線FG與⊙O相切；

（2）解：∵FG∥BE，F(xiàn)G⊥CE，
∴BE⊥CE，
∴∠AEB+∠DEC=90°，
∵∠ABE+∠AEB=90°，
∴∠ABE=∠DEC，
∵∠A=∠D=90°，
∴△ABE∽△CDE，
∴$\frac{AB}{DE}=\frac{AE}{CD}$，
∵AB=2，AD=5，
∴CD=AB=2，
∴$\frac{2}{5-AE}=\frac{AE}{2}$，
∴AE=1，或AE=4．

點(diǎn)評 本題考查的是切線的判定，三角形的中位線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．