Question

14．問題情境：
數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，同學(xué)們探究等腰三角形中兩條線段的關(guān)系：如圖1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，點(diǎn)D是邊AC上的一點(diǎn)，且DA=DB，點(diǎn)P是邊AB上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），過點(diǎn)P作PE⊥BC，垂足為點(diǎn)E，交線段BD于點(diǎn)F．線段PF與BE之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？

特例猜想：
（1）為探究問題的一般結(jié)論，同學(xué)們先研究特殊情況：當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，如圖2，小彬猜想得到①△ADF≌△BDC；②PF=2BE．請(qǐng)你判斷這兩個(gè)猜想是否正確，并說明理由；
一般探究：
（2）通過特例啟發(fā)，同學(xué)們廣開思路，進(jìn)行了如下探究．
請(qǐng)從下列A，B兩題中任選一題作答：我選擇A或B題：
A：如圖3，勤學(xué)小組發(fā)現(xiàn)圖1中PF=2BE也成立．他們的思路是：在圖1中的BD上取一點(diǎn)N，使得PN=NB，延長PN交BC于點(diǎn)M，得到圖3，證明了△PNF≌△BNM，…．請(qǐng)你根據(jù)勤學(xué)小組的思路接著完成說明PF=2BE的過程．
B：善思小組探究了更加一般的情況，當(dāng)圖1中的點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到線段BA的延長線上，如圖4，其余條件不變，發(fā)現(xiàn)此時(shí)PF=2BE也成立．他們的思路是：在BD的延長線上取一點(diǎn)N，使得PN=NB，延長PN交BC的延長線于點(diǎn)M，…．請(qǐng)你根據(jù)善思小組的思路說明圖4中的PF=2BE．

Answer 1

分析 （1）這兩個(gè)結(jié)論都是正確的．根據(jù)AAS或ASA即可證明△ADF≌△BDC，推出PF=BC，再證明BC=2BE即可解決問題；
（2）A、B的證明思路差不多．只要證明△PNF≌△BNM，即可解決問題；

解答 解：（1）這兩個(gè)結(jié)論都是正確的，理由如下：如圖2中，
∵DA=DB，
∴∠DBA=∠BAC，
∵∠BAC=45°，
∴∠DBA=45°，
∴∠ADB=180°∠DAB-∠ABD=180°-45°-45°=90°，
∴∠BDC=180°-∠ADB=90°，
∴∠ADB=∠BDC，
∵PE⊥BC，
∴∠PEC=90°，
∴∠C+∠DAF=90°，∠DAF+∠AFD=90°，
∴∠C=∠AFD，
在△ADF和△BDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFD=∠C}\\{∠ADF=∠BDC}\\{AD=BD}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△BDC．故①正確，
∴AF=BC，即PF=BC，
∵AB=AC，PE⊥BC，
∴BC=2BE，
∴PF=2BE．故②正確．

（2）A：如圖3中，由（1）可知，△PNF≌△BNM，
∴PF=BM，
∵NP=NB，
∴∠NPB=∠NBP，
∵∠ABD=45°，
∴∠BAC=∠NPB=45°，
∴PM∥AC，
∴∠PMB=∠C，
∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC，
∴∠PMB=∠ABC，
∴PB=PM，∵PE⊥BC，
∴EM=BE，即BM=2BE，
∴PF=2BE

B：如圖4中∵NP=NB，
∴∠NPB=∠NBP=∠ABD，
由（1）可知，∠ABD=∠DAB=45°，
∴∠NPB=∠DAB=45°，
∴PM∥AC，
∴∠PNB=∠ADB=90°，
∵∠PNB+∠BNM=90°，∴∠BNM=90°，
∴∠1+∠PFN=90°，
∵PE⊥BM，
∴∠PEM=∠PEB=90°，∠1+∠M=90°，
∴∠M=∠PFN，
∵∠BNM=∠PNF，PN=BN，
∴△PNF≌△BNM，
∴PF=BM，
∵PM∥AC，
∴∠M=∠2，
∵AB=AC，
∴∠2=∠ABC，
∴∠M=∠ABC，
∴PM=PB，∵PE⊥BM，
∴EM=BE，即BM=2BE，
∴PF=2BE．
故答案為A或B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形綜合題、等腰三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考?jí)狠S題．