Question

4．如圖，已知⊙O的直徑CD=6，A，B為圓周上兩點(diǎn)，且四邊形OABC是平行四邊形，過(guò)A點(diǎn)作直線EF∥BD，分別交CD，CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，F(xiàn)，AO與BD交于G點(diǎn)．
（1）求證：EF是⊙O的切線；
（2）求AE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）利用圓周角定理得到∠DBC=90°，再利用平行四邊形的性質(zhì)得AO∥BC，所以BD⊥OA，加上EF∥BD，所以O(shè)A⊥EF，于是根據(jù)切線的判定定理可得到EF是⊙O的切線；
（2）連接OB，如圖，利用平行四邊形的性質(zhì)得OA=BC，則OB=OC=BC，于是可判斷△OBC為等邊三角形，所以∠C=60°，易得∠AOE=∠C=60°，然后在Rt△OAE中利用正切的定義可求出AE的長(zhǎng)．

解答 （1）證明：∵CD為直徑，
∴∠DBC=90°，
∴BD⊥BC，
∵四邊形OABC是平行四邊形，
∴AO∥BC，
∴BD⊥OA，
∵EF∥BD，
∴OA⊥EF，
∴EF是⊙O的切線；
（2）解：連接OB，如圖，
∵四邊形OABC是平行四邊形，
∴OA=BC，
而OB=OC=OA，
∴OB=OC=BC，
∴△OBC為等邊三角形，
∴∠C=60°，
∴∠AOE=∠C=60°，
在Rt△OAE中，∵tan∠AOE=$\frac{AE}{OA}$，
∴AE=3tan60°=3$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定與性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑；經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．判定切線時(shí)“連圓心和直線與圓的公共點(diǎn)”或“過(guò)圓心作這條直線的垂線”；也考查了平行四邊形的性質(zhì)和解直角三角形．