Question

6．（背景）某班在一次數(shù)學(xué)實踐活動中，對矩形紙片進(jìn)行折疊實踐操作，并將其產(chǎn)生的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行相關(guān)探究．
（操作）如圖，在矩形ABCD中，AD=6，AB=4，點(diǎn)P是BC邊上一點(diǎn)，現(xiàn)將△APB沿AP對折，得△APM，顯然點(diǎn)M位置隨P點(diǎn)位置變化而發(fā)生改變
（問題）試求下列幾種情況下：點(diǎn)M到直線CD的距離
（1）∠APB=75°；（2）P與C重合；（3）P是BC的中點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）如圖1，過M作EF⊥AD，則EF⊥BC，由∠AMP=∠B=∠MFP=90°，得到∠AME=∠MPF，推出△AEM∽△MFP，根據(jù)已知條件得到∠MPF=30°，AE=2，即可得到結(jié)論；
（2）如圖2，過M作GH∥AD交BA，CD的延長線于G，H，則四邊形ADHG是矩形，推出△AMG∽△MHP，設(shè)AG=x，則DH=x，得到PH=4+x，列比例式得到MH=$\frac{3}{2}$x，根據(jù)勾股定理得到x=$\frac{20}{13}$（負(fù)值舍去），即可得到結(jié)論；
（3）當(dāng)P是BC的中點(diǎn)時，如圖3，過M作EF∥AB交AB，BC于E，F(xiàn)，推出△AEM∽△MFP，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{x}{3}=\frac{EM}{4}$，得到EM=$\frac{4}{3}$x，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）當(dāng)∠APB=75°時，如圖1，過M作EF⊥AD，則EF⊥BC，
∵∠AMP=∠B=∠MFP=90°，
∴∠AME=∠MPF，
∴△AEM∽△MFP，
∵∠APB=75°，
∴∠MPF=30°，
∵AM=AB=4，
∴AE=2，
∴DE=4；

（2）當(dāng)P與C重合，如圖2，過M作GH∥AD交BA，CD的延長線于G，H，
則四邊形ADHG是矩形，
∵∠AMP=∠ABC=∠AMC=90°，
∴∠AMG=∠MPH，
∴△AMG∽△MHP，
設(shè)AG=x，則DH=x，
∴PH=4+x，
∴$\frac{MH}{6}=\frac{x}{4}$，
∴MH=$\frac{3}{2}$x，
在Rt△MHP中，MH²+PH²=MC²，
即（$\frac{3}{2}$x）²+（4x）²=6²，
∴x=$\frac{20}{13}$（負(fù)值舍去），
∴MH=$\frac{30}{13}$；

（3）當(dāng)P是BC的中點(diǎn)時，如圖3，過M作EF∥AB交AB，BC于E，F(xiàn)，
∵P是BC的中點(diǎn)，
∴BP=3，
設(shè)PF=x，則BF=3+x，
∴AE=3+x，
由折疊的性質(zhì)得，AM=AB=4，PM=PB=3，∠AMP=∠B=90°，
∴△AEM∽△MFP，
∴$\frac{x}{3}=\frac{EM}{4}$，
∴EM=$\frac{4}{3}$x，
在Rt△AEM中，
AE²+EM²=AM²，
即（$\frac{4}{3}$x）²+（3+x）²=4²，
∴x=$\frac{21}{25}$（負(fù)值舍去），
∴DE=$\frac{54}{25}$．

點(diǎn)評 本題考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理；熟練掌握翻折變換和矩形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理計算是解決問題的關(guān)鍵．