Question

15．定義：數(shù)學(xué)活動課上，樂老師給出如下定義：有一組對邊相等而另一組對邊不相等的凸四邊形叫做對等四邊形．
理解：（1）如圖1，已知A、B、C在格點(diǎn)（小正方形的頂點(diǎn)）上，請?jiān)诜礁駡D中畫出以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，AB、BC為邊的兩個(gè)對等四邊形ABCD；
（2）如圖2，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AB是⊙O的直徑，AC=BD．求證：四邊形ABCD是對等四邊形；
（3）如圖3，在Rt△PBC中，∠PCB=90°，BC=11，tan∠PBC=$\frac{12}{5}$，點(diǎn)A在BP邊上，且AB=13．用圓規(guī)在PC上找到符合條件的點(diǎn)D，使四邊形ABCD為對等四邊形，并求出CD的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對等四邊形的定義，進(jìn)行畫圖即可；
（2）連接AC，BD，證明Rt△ADB≌Rt△ACB，得到AD=BC，又AB是⊙O的直徑，所以AB≠CD，即可解答；
（3）根據(jù)對等四邊形的定義，分兩種情況：①若CD=AB，此時(shí)點(diǎn)D在D₁的位置，CD₁=AB=13；②若AD=BC=11，此時(shí)點(diǎn)D在D₂、D₃的位置，AD₂=AD₃=BC=11；利用勾股定理和矩形的性質(zhì)，求出相關(guān)相關(guān)線段的長度，即可解答．

解答 解：（1）如圖1所示（畫2個(gè)即可）．

（2）如圖2，連接AC，BD，

∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=∠ACB=90°，
在Rt△ADB和Rt△ACB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BA}\\{BD=AC}\end{array}\right.$
∴Rt△ADB≌Rt△ACB，
∴AD=BC，
又∵AB是⊙O的直徑，
∴AB≠CD，
∴四邊形ABCD是對等四邊形．
（3）如圖3，點(diǎn)D的位置如圖所示：

①若CD=AB，此時(shí)點(diǎn)D在D₁的位置，CD₁=AB=13；
②若AD=BC=11，此時(shí)點(diǎn)D在D₂、D₃的位置，AD₂=AD₃=BC=11，
過點(diǎn)A分別作AE⊥BC，AF⊥PC，垂足為E，F(xiàn)，
設(shè)BE=x，
∵tan∠PBC=$\frac{12}{5}$，
∴AE=$\frac{12}{5}x$，
在Rt△ABE中，AE²+BE²=AB²，
即${x}^{2}+（\frac{12}{5}x）^{2}=1{3}^{2}$，
解得：x₁=5，x₂=-5（舍去），
∴BE=5，AE=12，
∴CE=BC-BE=6，
由四邊形AECF為矩形，可得AF=CE=6，CF=AE=12，
在Rt△AFD₂中，$F{D}_{2}=\sqrt{A{{D}_{2}}^{2}-A{F}^{2}}=\sqrt{1{1}^{2}-{6}^{2}}=\sqrt{85}$，
∴$C{D}_{2}=CF-F{D}_{2}=12-\sqrt{85}$，$C{D}_{3}=CF+F{D}_{2}=12+\sqrt{85}$，
綜上所述，CD的長度為13、12-$\sqrt{85}$或12+$\sqrt{85}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了四邊形的綜合題，解題的關(guān)鍵是理解并能運(yùn)用“等對角四邊形”這個(gè)概念．在（3）中注意分類討論思想的應(yīng)用、勾股定理的應(yīng)用．