Question

1．王老師在組織一次數(shù)學(xué)教學(xué)中，扁擬了如下問題串
【原題初探】
如圖1所示，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E為CD邊的中點(diǎn)，連接AE并延長交BC的延長線于點(diǎn)F，求證：S_{四邊形ABCD=}S_△ABF；
【變式猜想】
如圖2所示，在已知銳角∠AOB內(nèi)有一定點(diǎn)P，過點(diǎn)P任意作一條直線MN，分別交射線OA，OB于點(diǎn)M，N，小明在將直線MN繞著點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的過程中發(fā)現(xiàn)，△MON的面積存在最小值，試問當(dāng)MN在什么位置時，△MON的面積最小
【拓展應(yīng)用】
如圖3所示，一塊四邊形土地OABC，其中OA邊長60米，AB邊長30米，C點(diǎn)到OA邊的距離為45米，使用測角器測得∠AOC=45°，OA⊥AB，OC⊥BC，機(jī)井P距離OA，AB均是20米，過機(jī)井P畫一條分割線將這塊地分成兩塊四邊形地塊（與四邊形土地OABC）的一組對邊相交），則其中以點(diǎn)O為頂點(diǎn)的四邊形地塊的最大面積為1000m²．

Answer 1

分析 【原題初探】：根據(jù)可以求得△ADE≌△FCE，就可以得出S_△ADE=S_△FCE就可以得出結(jié)論；
【變式猜想】：根據(jù)問題情境的結(jié)論可以得出當(dāng)直線旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)P是MN的中點(diǎn)時S△MON最小，過點(diǎn)M作MG∥OB交EF于G．由全等三角形的性質(zhì)可以得出結(jié)論；
【拓展應(yīng)用】：當(dāng)過點(diǎn)P的直線l與四邊形OABC的另一組對邊CB、OA分別交M、N，延長CB交x軸于T，由B、C的坐標(biāo)可得直線BC的解析式，就可以求出T的坐標(biāo)，從而求出△OCT的面積，再由問題遷移的結(jié)論可以求出最大值，通過比較就可以求出結(jié)論．

解答 解：【原題初探】
證明：∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠FCE，
在△ADE與△FCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠FCE}\\{DE=CE}\\{∠AED=∠FEC}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△FCE，
∴S_△ADE=S_△FCE，
∴S_{四邊形ABCD}=S_{四邊形ABCE}+S_△ADE=S_{四邊形ABCE}+S_△FCE=S_△ABF；
【變式猜想】
當(dāng)直線旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)P是MN的中點(diǎn)時S_△MON最小，
如圖（1），過點(diǎn)P的另一條直線EF交OA、OB于點(diǎn)E、F，設(shè)PF＜PE，過點(diǎn)M作MG∥OB交EF于G，
由方法探究可以得出當(dāng)P是MN的中點(diǎn)時S_{四邊形MOFG}=S_△MON．                 
∵S_{四邊形MOFG}＜S_△EOF，
∴S_△MON＜S_△EOF，
∴當(dāng)點(diǎn)P是MN的中點(diǎn)時S_△MON最�。� 
【拓展應(yīng)用】
①如圖3，

當(dāng)過點(diǎn)P的直線l與四邊形OABC的一組對邊OC、AB分別交于點(diǎn)M、N，延長OC、AB交于點(diǎn)D，
∵OA邊長60米，使用測角器測得∠AOC=45°，OA⊥AB，
∴△OAD是等腰直角三角形，
∴S_△AOD=$\frac{1}{2}$AO²=$\frac{1}{2}$×60²=1800
由變式猜想的結(jié)論可知，當(dāng)PN=PM時，△MND的面積最小，
∴四邊形ANMO的面積最大．
作PP₁⊥OA，MM₁⊥OA，垂足分別為P₁，M₁，
∴M₁P₁=P₁A=20，
∴OM₁=M₁M=20，
∴MN∥OA，
∴S_{四邊形OANM}=S_△OMM1+S_{四邊形ANMM1}=$\frac{1}{2}$×20×20+20×40=1000
②如圖4，

當(dāng)過點(diǎn)P的直線l與四邊形OABC的另一組對邊CB、OA分別交M、N，延長CB交x軸于T，
過點(diǎn)C作CH⊥OA，
∴CH=45．
∵∠COA=45°，
∴△CHA為等腰直角三角形，
∴OC=45$\sqrt{2}$，
∵OC⊥BC，
∴△OCT是等腰直角三角形，
∴S_△OCT=$\frac{1}{2}$OC²=2025，OT=90
由問題遷移的結(jié)論可知，當(dāng)PM=PN時，△MNT的面積最小，
∴四邊形CMNO的面積最大．
∴NP₁=M₁P₁，MM₁=2PP₁=40，
∴TM₁=40
∴OM₁=OT-TM₁=50．
∵AT=AB=30，
∴AM₁=TM₁-AT=40-30=10，
∵AP₁=20，
∴P₁N=P₁M₁=AP₁=AM₁=20-10=10，
∴NT=P₁N+AP₁+AT=10+20+30=60
∴S_△MNT=$\frac{1}{2}$×40×60=1200，
∴S_{四邊形OCMN}=2025-1200=725＜1000．
∴綜上所述：截得四邊形面積的最大值為1000（m²），
故答案為1000m²．

點(diǎn)評 此題是幾何變換綜合題，主要考查了由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，四邊形的面積公式的運(yùn)用，三角形的面積公式的運(yùn)用，分類討論思想的運(yùn)用，解答時建立數(shù)學(xué)模型解答是關(guān)鍵．