Question

4．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．動(dòng)點(diǎn)M，N從點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，均以每秒1cm的速度分別沿CA、CB向終點(diǎn)A，B移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2cm的速度沿BA向終點(diǎn)A移動(dòng)，連接PM，PN，MN，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t（單位：秒，0＜t≤2.5）．
（1）用t的代數(shù)式表示線段AM、BN、AP的長．
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△APM是等腰三角形？
（3）是否存在某一時(shí)刻t，使△PMN的面積S有最大值？若存在，求S的最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線段的和差即可得到結(jié)果；
（2）分三種情況：①當(dāng)AP=AM時(shí)，得到t=1，②當(dāng)AP=PM時(shí)，即點(diǎn)P在AM的垂直平分線上，如圖1，過P作AM的垂直平分線交AM于E，則AE=$\frac{1}{2}$AM=$\frac{4-t}{2}$，PE∥BC，根據(jù)△APE∽△ABC，得到比例式$\frac{AP}{AB}=\frac{AE}{AC}$即可得到結(jié)果；③當(dāng)AM=PM時(shí)，即點(diǎn)M在AP的垂直平分線上，如圖1，過M作AP的垂直平分線交AP于F，由△AFM∽△ACB，得到比例式$\frac{AF}{AC}=\frac{AM}{AB}$，即可得到結(jié)果t=-$\frac{7}{2}$，（不合題意，舍去）；
（3）如圖3，過點(diǎn)P作PH⊥BC于點(diǎn)H，過點(diǎn)P作PG⊥AC于點(diǎn)G，則PH∥AC，PG∥BC，于是得到$\frac{PH}{AC}=\frac{BP}{AB}$，即$\frac{PH}{4}=\frac{2t}{5}$，求得PH=$\frac{8}{5}$t，同理PG=$\frac{15-6t}{5}$，根據(jù)三角形的面積公式即可得到S=-$\frac{3}{10}$t²+$\frac{3}{2}$t，于是得到當(dāng)t=$\frac{5}{2}$時(shí)，S_最大=$\frac{45}{24}$．

解答 解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
∴AM=AC-CM=4-t，BN=BC-CN=3-t，AP=AB-PB=5-2t；

（2）∵△APM是等腰三角形，
①當(dāng)AP=AM時(shí)，即5-2t=4-t，
解得：t=1，
②當(dāng)AP=PM時(shí)，
如圖1，過P作AM的垂直平分線交AM于E，即點(diǎn)P在AM的垂直平分線上，
則AE=$\frac{1}{2}$AM=$\frac{4-t}{2}$，PE∥BC，
∴△APE∽△ABC，
∴$\frac{AP}{AB}=\frac{AE}{AC}$，即$\frac{5-2t}{5}$=$\frac{\frac{1}{2}（4-t）}{4}$，
解得：t=$\frac{20}{11}$，
③當(dāng)AM=PM時(shí)，
如圖2，過M作AP的垂直平分線交AP于F，即點(diǎn)M在AP的垂直平分線上，
則AF=$\frac{1}{2}$AP=$\frac{1}{2}$（5-2t），∠AFM=∠C=90°，
∵∠A=∠A，
∴△AFM∽△ACB，∴$\frac{AF}{AC}=\frac{AM}{AB}$，
即：$\frac{\frac{1}{2}（5-2t）}{4}=\frac{4-t}{5}$，
解得：t=-$\frac{7}{2}$，（不合題意，舍去），
綜上所述：當(dāng)t=1，或t=$\frac{20}{11}$時(shí)，△APM是等腰三角形；

（3）如圖3，過點(diǎn)P作PH⊥BC于點(diǎn)H，過點(diǎn)P作PG⊥AC于點(diǎn)G，則PH∥AC，PG∥BC，
∴$\frac{PH}{AC}=\frac{BP}{AB}$，即$\frac{PH}{4}=\frac{2t}{5}$，
∴PH=$\frac{8}{5}$t，
同理：PG=$\frac{15-6t}{5}$，
∴S_△PMN=S_△ABC-S_△PBN-S_△APM-S_△CMN=$\frac{1}{2}$×4×3-$\frac{1}{2}$×（3-t）×$\frac{8}{5}$t-$\frac{1}{2}$（4-t）×$\frac{15-6t}{5}$-$\frac{1}{2}$t²=-$\frac{3}{10}$t²+$\frac{3}{2}$t，
即S═-$\frac{3}{10}$t²+$\frac{3}{2}$t，
∵-$\frac{3}{10}$＜0，
∴S有最大值，
∴當(dāng)t=$\frac{5}{2}$時(shí)，S_最大=$\frac{45}{24}$=$\frac{15}{8}$．

點(diǎn)評 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線分線段成比例，二次函數(shù)最值的求法以及三角形面積公式，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．