Question

13．某中學(xué)要修建一座圖書樓，為改善安全性能，把樓梯的傾斜角由原來設(shè)計的45°改為30°．已知原來設(shè)計的樓梯長為4.5m，在樓梯高度不變的情況下，調(diào)整后的樓梯多占地面$\frac{9\sqrt{6}-9\sqrt{2}}{4}$m．

Answer 1

分析 由題可知45°、30°的角在兩個直角三角形中，且對邊相等，只需利用正切函數(shù)求出鄰邊后，求它們的差即可．

解答 解：如圖，

設(shè)樓梯的高為AC，原樓梯所占的地面長為BC，調(diào)整后樓梯多占的長為BD，
則在Rt△ABC，AC=ABsin45°=4.5sin45°=$\frac{9\sqrt{2}}{4}$m，BC=ABcos45°=4.5cos45°=$\frac{9\sqrt{2}}{4}$m．
在Rt△ACD中，DC=AC÷tan30°=$\frac{9\sqrt{2}}{4}$×$\sqrt{3}$=$\frac{9\sqrt{6}}{4}$m．
∴DB=DC-BC=$\frac{9\sqrt{6}}{4}$-$\frac{9\sqrt{2}}{4}$=$\frac{9\sqrt{6}-9\sqrt{2}}{4}$m．
∴調(diào)整后的樓梯多占地面$\frac{9\sqrt{6}-9\sqrt{2}}{4}$m．
故答案為：$\frac{9\sqrt{6}-9\sqrt{2}}{4}$．

點評 本題主要考查了坡度坡角問題，解題的關(guān)鍵利用三角函數(shù)得到修改前的水平距離和修改后的水平距離．