Question

15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-$\frac{1}{2}$x-2與坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)A、B兩點(diǎn)的拋物線解析式為y=x²+bx+c．
（1）求拋物線的解析式；
（2）E為拋物線上第一象限部分上一點(diǎn)，當(dāng)S_△ABE=10時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）F為直線AB下方拋物線上一點(diǎn)，連接AF，當(dāng)∠FAB=∠BAO時(shí)，求F點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）求出A、B坐標(biāo)代入y=x²+bx+c即可解決．
（2）如圖作AM∥y軸，BM∥x軸，則點(diǎn)M坐標(biāo)為（-4，-2），根據(jù)S_△AEB=S_△AME+s_△EBM-S_△ABM=10列出方程即可解決．
（3）設(shè)點(diǎn)O關(guān)于直線AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G，則直線OG為y=2x，此時(shí)直線AG與拋物線交于點(diǎn)F，∠FAB=∠OAB，求出點(diǎn)G坐標(biāo)后求出直線AG，解直線AB與拋物線組成的方程組即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）直線y=-$\frac{1}{2}$x-2，令y=0，得x=-4，∴點(diǎn)A（-4，0），
令x=0，得y=-2，∴點(diǎn)B（0，-2）
把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y=x²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{16-4b+c=0}\\{c=-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{7}{2}}\\{c=-2}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=x²+$\frac{7}{2}$x-2．
（2）如圖作AM∥y軸，BM∥x軸，則點(diǎn)M坐標(biāo)為（-4，-2），連接EM，設(shè)點(diǎn)E（m，m²+$\frac{7}{2}$m-2），
∵S_△AEB=S_△AME+s_△EBM-S_△ABM=10，
∴$\frac{1}{2}$×2×（m+4）+$\frac{1}{2}$×4×（m²+$\frac{7}{2}$m-2+2）-$\frac{1}{2}$×2×4=10，
∴m²+4m-5=0，
∴m=1（或-5不合題意舍棄）．
∴點(diǎn)E坐標(biāo)（1，$\frac{5}{2}$）．
（3）設(shè)點(diǎn)O關(guān)于直線AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G，則直線OG為y=2x，此時(shí)直線AG與拋物線交于點(diǎn)F，∠FAB=∠OAB．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{y=-\frac{1}{2}x-2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{4}{5}}\\{y=-\frac{8}{5}}\end{array}\right.$，
∴直線AB與直線OG的交點(diǎn)H為（-$\frac{4}{5}$，-$\frac{8}{5}$），
∴點(diǎn)G坐標(biāo)為（-$\frac{8}{5}$，-$\frac{16}{5}$），
設(shè)直線AG為y=kx+b，則$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=0}\\{-\frac{8}{5}k+b=-\frac{16}{5}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=-\frac{16}{3}}\end{array}\right.$．
∴直線AG為y=-$\frac{4}{3}$x-$\frac{16}{3}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{4}{3}x-\frac{16}{3}}\\{y={x}^{2}+\frac{7}{2}x-2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{5}{6}}\\{y=-\frac{38}{9}}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)F坐標(biāo)為（-$\frac{5}{6}$，-$\frac{38}{9}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)、一次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)、三角形的面積、對(duì)稱(chēng)等知識(shí)，第二個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵是添加輔助線，利用S_△AEB=S_△AME+s_△EBM-S_△ABM，列出方程解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用解方程組求兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，求點(diǎn)F坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為先求直線AG，本題屬于中考?jí)狠S題．