Question

8．已知$\sqrt{a-1}$+$\sqrt{ab-2}$=0，
求$\frac{1}{ab}$+$\frac{1}{（a+1）（b+1）}$+$\frac{1}{（a+2）（b+2）}$+…+$\frac{1}{（a+2013）（b+2013）}$的值．

Answer 1

分析 根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到a-1=0，ab-2=0，解得a=1，b=2，則原式=$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2014}$-$\frac{1}{2015}$，然后利用$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$進(jìn)行計算即可．

解答 解：∵$\sqrt{a-1}$+$\sqrt{ab-2}$=0，
∴a-1=0，ab-2=0，
∴a=1，b=2，
原式=$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2014×2015}$
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2014}$-$\frac{1}{2015}$
=1-$\frac{1}{2015}$
=$\frac{2014}{2015}$．

點評 本題考查了分式的化簡求值：先把分式化簡后，再把分式中未知數(shù)對應(yīng)的值代入求出分式的值．在化簡的過程中要注意運算順序和分式的化簡．化簡的最后結(jié)果分子、分母要進(jìn)行約分，注意運算的結(jié)果要化成最簡分式或整式．解決本題的關(guān)鍵是利用$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$進(jìn)行化簡．