Question

4．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有下列問(wèn)題“今有勾八步，股十五步，問(wèn)勾中容圓徑幾何？”其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角邊）長(zhǎng)為8步，股（長(zhǎng)直角邊）長(zhǎng)為15步，問(wèn)該直角三角形能容納的圓形（內(nèi)切圓）直徑是6步．

Answer 1

分析 設(shè)三角形△ABC，由勾股定理可求得直角三角形的斜邊，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r，由S_△ABC=$\frac{1}{2}$（AB+BC+CA）•r可求得半徑，則可求得直徑．

解答 解：
設(shè)三角形為△ABC，∠C=90°，AC=8，BC=15，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+1{5}^{2}}$=17，
設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r，則S_△ABC=$\frac{1}{2}$（AB+BC+CA）•r，
∴$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}$（AB+BC+CA）•r，即$\frac{1}{2}$×8×15=$\frac{1}{2}$×（8+15+17）•r，
解得r=3，
∴內(nèi)切圓的直徑是6步，
故答案為：6．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角形的內(nèi)切圓，利用等積法得到關(guān)于內(nèi)切圓半徑的方程是解題的關(guān)鍵．