Question

14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（0，a）、（-a，0）（a＞0），點(diǎn)C是點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接AB、AC，△ABC的面積為18．
①點(diǎn)C的坐標(biāo)是（3$\sqrt{2}$，0）；
②動(dòng)點(diǎn)D從動(dòng)點(diǎn)B出發(fā)，沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿y軸正方向運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)速度均為1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒，連接DE，在DE右側(cè)，以DE為斜邊作等腰直角△DEF，設(shè)動(dòng)點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，請(qǐng)用含t的代數(shù)式表示點(diǎn)F的坐標(biāo)；
③在②的條件下，連接AD、OF，作線段AD的垂直平分線，與直線OF相交于點(diǎn)G，連接DG，直線DG與y軸相交于點(diǎn)K，當(dāng)CA=CD時(shí)，求點(diǎn)K的坐標(biāo)？

Answer 1

分析 ①根據(jù)三角形面積公式，列出方程即可解決問題．
②如圖1中，作FM⊥BC于M，F(xiàn)N⊥OA于N，由△FNE≌△FMD，得到FN=FM，EN=DM，四邊形FMON是正方形，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為m，根據(jù)EN=DM，列出方程即可解決問題．
③分兩種情形，如圖2中，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，如圖3中，當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，分別求出直線DG解析式即可解決問題．

解答 解：①∵點(diǎn)C是點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，B（-a，0），
∴點(diǎn)C坐標(biāo)（a，0），
∵$\frac{1}{2}$•2a•a=18，a＞0，
∴a=3$\sqrt{2}$，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)（3$\sqrt{2}$，0）．
故答案為（3$\sqrt{2}$，0）

②如圖1中，作FM⊥BC于M，F(xiàn)N⊥OA于N．

∵∠EFD=∠NFM=90°，
∴∠NFE=∠DFM，
在△FNE和△FMD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠NFE=∠DFM}\\{∠FNE=∠FMD}\\{EF=DF}\end{array}\right.$，
∴△FNE≌△FMD，
∴FN=FM，EN=DM，四邊形FMON是正方形，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為m，
則3$\sqrt{2}$+m-t=3$\sqrt{2}$+t-m，
∴m=t，
∴點(diǎn)F坐標(biāo)為（t，t）．

③如圖2中，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，

由②可知直線OF解析式為y=x，
∵CA=CD=6，
∴點(diǎn)D坐標(biāo)（3$\sqrt{2}$-6，0），
設(shè)直線AD解析式為y=kx+b，則$\left\{\begin{array}{l}{b=3\sqrt{2}}\\{（3\sqrt{2}-6）k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\sqrt{2}+1}\\{b=3\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
∴直線AD的解析式為y=（$\sqrt{2}$+1）x+3$\sqrt{2}$，
線段AD中垂線的解析式為y=（1-$\sqrt{2}$）x+6-3$\sqrt{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=（1-\sqrt{2}）x+6-3\sqrt{2}}\end{array}\right.$解得，$\left\{\begin{array}{l}{x=3\sqrt{2}-3}\\{y=3\sqrt{2}-3}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)G坐標(biāo)（3$\sqrt{2}$-3，3$\sqrt{2}$-3）．
設(shè)直線DG為y=mx+n，則$\left\{\begin{array}{l}{（3\sqrt{2}-3）m+n=3\sqrt{2}-3}\\{（3\sqrt{2}-6）m+n=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\sqrt{2}-1}\\{n=9\sqrt{2}-9}\end{array}\right.$，
∴直線DG解析式為y=（$\sqrt{2}$-1）x+9$\sqrt{2}$-9，
∴點(diǎn)K坐標(biāo)為（0，9$\sqrt{2}$-9）．
如圖3中，當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，

由題意可得直線AD解析式為y=（1-$\sqrt{2}$）x+3$\sqrt{2}$，
線段AD的垂直平分線為y=（$\sqrt{2}$+1）x-3$\sqrt{2}$-6，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=（\sqrt{2}+1）x-3\sqrt{2}-6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3+3\sqrt{2}}\\{y=3+3\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)G坐標(biāo)（3+3$\sqrt{2}$，3+3$\sqrt{2}$），
∴可得直線DG解析式為y=（-1-$\sqrt{2}$）x+12+9$\sqrt{2}$，
∴點(diǎn)K坐標(biāo)為（0，12+9$\sqrt{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查幾何變換綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、一次函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形，學(xué)會(huì)利用方程組求兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，屬于中考?jí)狠S題．