Question

4．如圖，AC是正方形ABCD的對角線，AE平分∠BAC交BC于點E，CF平分∠ACD交AD于點F．
（1）求證：四邊形AECF為平行四邊形；
（2）如果BE=1，求平行四邊形AECF的面積．

Answer 1

分析 （1）先證明△CDF≌△ABE，再證明AF=CE，AF∥CE即可．
（2）在AB上取一點M使得AM=EM，先證明△EMB是等腰直角三角形，求出AB，根據S_{平行四邊形AECF}=CE•AB計算即可．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠D=∠B=∠DAB=∠DCB=90°，∠DCA=∠BAC=45°，AD∥BC，
∵CF平分∠DCA，EA平分∠CAB，
∴∠DCF=∠EAB=22.5°，
在△DCF和△BAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠B}\\{∠DCF=∠EAB}\\{CD=AB}\end{array}\right.$，
∴△CDF≌△ABE，
∴DF=BE，
∴AF=EC．∵AF∥CE，
∴四邊形AECF是平行四邊形．
（2）解：在AB上取一點M使得AM=EM，則∠MAE=∠MEA=22.5°，∴∠EMB=∠MAE+∠MEA=45°，
∴∠BME=∠BEM=45°，
∴BE=MB=1，EM=AM=$\sqrt{2}$，
∴AB=1+$\sqrt{2}$，CE=BC-BE=$\sqrt{2}$
∴S_{平行四邊形AECF}=CE•AB=$\sqrt{2}$•（1+$\sqrt{2}$）=$\sqrt{2}$+2．

點評 本題考查正方形的性質、平行四邊形的判定和性質、等腰直角三角形的判定和性質、平行四邊形的面積公式等知識，解題的關鍵是添加輔助線構造等腰直角三角形，學會添加輔助線的方法，屬于中考�？碱}型．