Question

9．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=-2x²+（m+9）x-6的對稱軸是x=2．
（1）求拋物線表達(dá)式和頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）將該拋物線向右平移1個單位，平移后的拋物線與原拋物線相交于點(diǎn)A，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（3）拋物線y=-2x²+（m+9）x-6與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A關(guān)于平移后拋物線的對稱軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)B，兩條拋物線在點(diǎn)A、C和點(diǎn)A、B之間的部分（包含點(diǎn)A、B、C） 記為圖象M．將直線y=2x-2向下平移b（b＞0）個單位，在平移過程中直線與圖象M始終有兩個公共點(diǎn)，請你寫出b的取值范圍0＜b≤$\frac{7}{2}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線的對稱軸公式求出m的值，進(jìn)而求出拋物線的解析式以及頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）先求出平移后的拋物線解析式，然后求出交點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）根據(jù)圖象即可寫出b的取值范圍．

解答 解：（1）∵拋物線y=-2x²+（m+9）x-6的對稱軸是x=2，
∴$-\frac{m+9}{2×（-2）}=2$．
∴m=-1． 
∴拋物線的表達(dá)式為y=-2x²+8x-6．
∴y=-2（x-2）²+2．
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2）．
（2）由題意得，平移后拋物線表達(dá)式為y=-2（x-3）²+2，
∵-2（x-2）²=-2（x-3）²，
∴$x=\frac{5}{2}$．
∴A（$\frac{5}{2}$，$\frac{3}{2}$）．
（3）點(diǎn)A坐標(biāo)為（$\frac{5}{2}$，$\frac{3}{2}$），
則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（$\frac{7}{2}$，$\frac{3}{2}$），
設(shè)直線y=2x-2向下平移b（b＞0）個單位經(jīng)過點(diǎn)B，
則y=2x-2-b，
故$\frac{3}{2}$=7-2-b，
解得b=$\frac{7}{2}$，
平移過程中直線與圖象M始終有兩個公共點(diǎn)，則$0＜b≤\frac{7}{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)圖象的幾何變換，解題的關(guān)鍵是熟練掌握拋物線對稱軸的求法以及數(shù)形結(jié)合解題思想．