Question

19．如圖，已知△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=90°，AP平分∠BAC，BE=AF．
（1）線段PE、PF有什么關系，并說明理由．
（2）當∠EPF在△ABC內繞頂點旋轉時（點E不與A，B重合），四邊形AEPF的面積是否不變？若不變，求出不變的面積的值；若變化，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形的性質可得∠PAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=45°，P為BC中點，AP⊥BC，然后再證明△BEP≌△AFP，進而可得∠EPB=∠APF，從而可證明PE⊥PF；
（2）根據(jù)（1）可得△BEP≌△AFP，根據(jù)三角形的面積關系可得S_{四邊形EAFP}=S_△ABP，再根據(jù)三角形的中線平分三角形的面積可得答案．

解答 解：（1）PE⊥PF，
∵AB=AC，AP平分∠BAC，
∴∠PAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=45°，P為BC中點，AP⊥BC，
∴AP=BP=$\frac{1}{2}$BC，
∵AB=AC=4，∠BAC=90°，
∴∠B=45°，
在△BEP和△AFP中$\left\{\begin{array}{l}{AP=BP}\\{∠B=∠PAF}\\{BE=AF}\end{array}\right.$，
∴△BEP≌△AFP（SAS），
∴∠EPB=∠APF，
∴∠EPF=∠BPE+∠EAP=∠APF+∠APE=90°，
∴EP⊥PF．

（2）四邊形AEPF的面積不變，
連接AP，由（1）得△BEP≌△AFP，
∴S_{四邊形EAFP}=S_△AEP+S_△APF=S_△AEP+S_△BEP=S_△ABP，
∵AB=AC，AP平分∠BAC，
∴AP為△ABC的中線，
∴S_△ABP=$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{1}{2}$×AB×AC×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×4×4=4，
∴四邊形AEPF的面積是4．

點評 此題主要考查了圖形的旋轉，以及全等三角形的判定，等腰三角形的性質，關鍵是掌握等腰三角形三線合一的性質，以及全等三角形的判定方法．