Question

如圖，正方形ABCD中，
（1）E為邊BC的中點(diǎn)，AE的垂直平分線分別交AB、AE、CD于G、F、H，求

GF

FH

；
（2）E的位置改動(dòng)為邊BC上一點(diǎn)，且

BE

EC

=k，其他條件不變，求

GF

FH

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）如圖1，作輔助線；證明

AE

EK

=

BE

CE

；證明BE=CE，AE=EK，F(xiàn)K=3AF；證明△AGF∽△KHF，得到

GF

FH

=

AF

FK

=

1

3

．
（2）如圖2，作輔助線；類比（1）中的解法、思路，即可完成（2）的解答．

解答：解：（1）如圖1，分別延長AE、DC交于點(diǎn)K；
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB∥CK，△ABE∽△KCE，
∴

AE

EK

=

BE

CE

；
∵E為邊BC的中點(diǎn)，
∴BE=CE，AE=EK；
∵GH平分AE，
∴EK=AE=2AF，F(xiàn)K=3AF；
∵AG∥HK，
∴△AGF∽△KHF，
∴

GF

FH

=

AF

FK

=

1

3

．
（2）如圖2，分別延長AE、DC交于點(diǎn)K；
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB∥CK，△ABE∽△KCE，
∴

AE

EK

=

BE

CE

；
∵

BE

EC

=k，
∴AE=kEK；
∵GH平分AE，
∴AF=EF=

1

2

AE=

1

2

kEK，F(xiàn)K=

k+2

2

EK；
∵AG∥HK，
∴△AGF∽△KHF，
∴

FG

FH

=

AF

FK

=

k

k+2

．

點(diǎn)評：該題主要考查了相似三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造相似三角形，靈活運(yùn)用正方形的性質(zhì)等幾何知識(shí)點(diǎn)來分析、判斷、推理或解答．